Question

1) решите уравнение: (2sin^2x-7sinx+3)*log по основанию 2 (x-8)=0 2)найдите все корни уравнения, принадлежащие данному промежутку (3пи; 6пи)

Answer 1

I.   (2sin²x - 7sinx + 3) · log₂ (x-8) = 0

ОДЗ :    x-8 > 0;   x > 8

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

1)  2sin²x - 7sinx + 3 = 0  - квадратное уравнение с неизвестным sinx

  D = 7² - 4·2·3 = 25 = 5²

  sin x = (7+5)/4 = 3  -  не подходит под условие  |sin x| ≤ 1

  sin x = (7-5)/4 = 1/2

  x₁ = π/6 + 2πn,  n∈N, n≥2   ( ОДЗ: π/6 + 4π ≈ 13,1 > 8)

  x₂ = 5π/6 + 2πk,  k∈N   ( ОДЗ:  5π/6 + 2π ≈ 8,9 > 8)

2) log₂ (x-8) = 0    ⇒   x - 8 = 2⁰

   x = 1 + 8;   x₃ = 9

==========================

II.    x ∈ (3π; 6π)

$1)~~3\pi < x_1 < 6\pi ~~\Rightarrow~~3\pi < \dfrac{\pi}6 +2\pi n < 6\pi \\\\~~~~~3\pi -\dfrac{\pi}6< 2\pi n < 6\pi -\dfrac{\pi}6~~\Leftrightarrow~~\dfrac{17\pi}6< 2\pi n < \dfrac{35\pi}6\\\\~~~~~\dfrac{17}{12}$

$2)~~3\pi < x_2 < 6\pi ~~\Rightarrow~~3\pi < \dfrac{5\pi}6 +2\pi k < 6\pi \\\\~~~~~3\pi -\dfrac{5\pi}6< 2\pi k < 6\pi -\dfrac{5\pi}6~~\Leftrightarrow~~\dfrac{13\pi}6< 2\pi k < \dfrac{31\pi}6\\\\~~~~~\dfrac{13}{12}$

3) x₃ = 9  <  9,4 ≈ 3π   -   не входит в интервал

Ответ: $4\dfrac 16\pi$;   $4\dfrac 56\pi$