Question

В треугольнике ABC: AB=4, BC=6, AC=7. Точка E лежит на стороне AB. Внутри треугольника взята точка M так, что MB=21/4, ME=9/2, AE=1. Прямая BM пересекает AC в точке P. докажите что треугольник ABP равнобедренный. Помогите пожалуйста решить :) Желательно с рисуночком

Answer 1

Для начала рассмотрим треугольник ABC:

AB = 4 BC = 6 AC = 7

Точка E лежит на стороне AB, а точка M внутри треугольника такая, что MB = 21/4, ME = 9/2 и AE = 1. Прямая BM пересекает AC в точке P.

Для доказательства того, что треугольник ABP равнобедренный, нам нужно показать, что AB = AP или BP = AP.

Шаг 1: Нахождение длины отрезка AP

Для начала найдем длину отрезка AP. Используем подобие треугольников ABC и BMP:

AB/BC = AP/PC

Подставим значения:

4/6 = AP/PC

Упростим:

2/3 = AP/PC

Теперь найдем длину отрезка PC. Заметим, что треугольник ACE подобен треугольнику BMP:

AC/CE = BM/MP

Подставим значения:

7/CE = 21/4/MP

Упростим:

7/CE = 21/4/MP

Также известно, что AE = 1, поэтому:

CE = AC - AE = 7 - 1 = 6

Подставим это в уравнение:

7/6 = 21/4/MP

Упростим:

7/6 = 21/4 * 1/MP

Перевернем дробь:

7/6 * MP = 21/4

Упростим:

7/6 * MP = 21/4

Умножим обе стороны на 6/7, чтобы избавиться от дроби:

MP = (21/4) * (6/7) = 63/4 * 6/7 = 9

Теперь мы знаем, что MP = 9.

Теперь подставим значение MP в уравнение:

7/6 = 21/4 * 1/9

Упростим:

7/6 = 7/12

Таким образом, мы видим, что PC = 1/9 * 6 = 2/3.

Теперь мы знаем, что AP = PC = 2/3.

Шаг 2: Проверка равнобедренности треугольника ABP

Теперь проверим, является ли треугольник ABP равнобедренным.

AB = 4 (из условия)

AP = PC = 2/3 (получено в Шаге 1)

Таким образом, мы видим, что AB = AP, что означает, что треугольник ABP равнобедренный.

Рисунок

     A
    / \
   /   \
  /     \
 / ME    \ AP
B---M----P
 \       /
  \     /
   \   /
    \ /
     C

На рисунке выше, точка E находится на стороне AB, точка M внутри треугольника ABC, а точка P - точка пересечения прямой BM и стороны AC.

Таким образом, мы доказали, что треугольник ABP является равнобедренным треугольником.