Question

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро l, а плоский угол при вершине  - альфа "а". Найдите боковую поверхность и объем пирамиды. 

Answer 1

В правильной треугольной пирамиде все грани являются равносторонними треугольниками. Пусть сторона треугольника равна "a", тогда основание пирамиды будет иметь площадь S = a^2 * sqrt(3) / 4.

Боковая поверхность пирамиды состоит из трех равносторонних треугольников, поэтому ее площадь равна Sбок = 3 * a^2 * sqrt(3) / 4.

Высота пирамиды можно найти с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного одной из высот треугольника и половиной стороны основания пирамиды: l^2 = (a/2)^2 + h^2, где l - боковое ребро пирамиды, h - высота. Решив это уравнение относительно h, получим h = sqrt(l^2 - (a/2)^2).

Объем пирамиды можно найти, умножив площадь основания на высоту и делением на 3: V = (a^2 * sqrt(3) / 4) * sqrt(l^2 - (a/2)^2) / 3.

Таким образом, мы нашли боковую поверхность пирамиды (Sбок = 3 * a^2 * sqrt(3) / 4) и её объем (V = (a^2 * sqrt(3) / 4) * sqrt(l^2 - (a/2)^2) / 3).