Question

Дано: ABCD- трапеция, ∠ABC =90°, AD∈α, CM⊥α ∠CAM=30°, ∠CDM=45°. Найти: sin∠BCA/sin∠CDA

Answer 1

Давай разберемся с этой задачей шаг за шагом!

У нас есть трапеция ABCD, где ∠ABC = 90°, AD параллельно BC (обозначено как AD∈α), CM ⊥ α (то есть отрезок CM перпендикулярен прямой α), ∠CAM = 30° и ∠CDM = 45°. Нам нужно найти значение sin∠BCA/sin∠CDA.

1. Рассмотрим треугольник CAM. У нас есть два угла: ∠CAM = 30° и ∠CDM = 45°. Так как сумма углов треугольника равна 180°, мы можем найти третий угол: ∠ACM = 180° - ∠CAM - ∠CDM = 180° - 30° - 45° = 105°.

2. Теперь обратимся к трапеции ABCD. Известно, что ∠ABC = 90°, а ∠ACM = 105°, поскольку ∠ACM это внутренний угол треугольника CAM.

3. Рассмотрим угол ∠BCA. Этот угол является внешним по отношению к треугольнику ACM, так что он равен сумме ∠ACM и ∠ABC: ∠BCA = ∠ACM + ∠ABC = 105° + 90° = 195°.

4. Теперь посмотрим на угол ∠CDA. Он является внутренним углом трапеции и равен углу ∠ABC: ∠CDA = ∠ABC = 90°.

Итак, у нас есть: - sin∠BCA = sin 195° (синус угла 195°). - sin∠CDA = sin 90° (синус угла 90°).

Однако в математике синус угла x° равен синусу угла (x - 180)° для x > 90°. Таким образом, sin 195° = sin (195° - 180°) = sin 15°.

Итак, мы имеем: - sin∠BCA = sin 15°. - sin∠CDA = sin 90° = 1 (так как sin 90° = 1).

Теперь можем вычислить отношение sin∠BCA/sin∠CDA: sin∠BCA / sin∠CDA = sin 15° / 1 = sin 15°.

Таким образом, sin∠BCA / sin∠CDA = sin 15°.