Question

Основания трапеции равны 4 и 12,одна из боковых сторон равна 12√3,а угол между ней и одним из оснований равен 120°. Найдите площадь трапеции.

Answer 1

Для нахождения площади трапеции, давайте воспользуемся формулой для площади трапеции:

\[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h \]

где \( a \) и \( b \) - основания трапеции, \( h \) - высота трапеции.

В данном случае у нас есть трапеция с основаниями \( a = 4 \) и \( b = 12 \), а также угол между одним из боковых сторон и основанием \( 120^\circ \). Мы можем использовать этот угол для вычисления высоты трапеции.

Рассмотрим треугольник, образованный одним из оснований трапеции, боковой стороной и высотой, проведенной из вершины угла \( 120^\circ \) к основанию.

Так как у нас есть угол \( 120^\circ \), мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты \( h \). В этом треугольнике:

\[ \cos(120^\circ) = \frac{a}{\text{боковая сторона}} \]

Также, мы знаем, что \( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \), поэтому:

\[ -\frac{1}{2} = \frac{4}{\text{боковая сторона}} \]

Отсюда найдем боковую сторону:

\[ \text{боковая сторона} = \frac{4}{-\frac{1}{2}} = -8 \]

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту \( h \):

\[ h = \sqrt{\text{боковая сторона}^2 - a^2} \]

\[ h = \sqrt{(-8)^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \]

Теперь, подставив значения в формулу для площади трапеции, мы получим:

\[ S = \frac{4 + 12}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 8 \cdot 4\sqrt{3} = 32\sqrt{3} \]

Итак, площадь трапеции равна \( 32\sqrt{3} \).