Question

В равнобедренном треугольнике ABC стороны AC = BC = 45. Из вершины C проведена медиана, которая пересекает сторону AB в точке M. Найдите tg BCM, если известно, что AM = 27.

Answer 1

Давайте рассмотрим данную задачу.

В равнобедренном треугольнике ABC стороны AC и BC равны 45. Так как треугольник равнобедренный, то у него также равны углы при основании (углы B и C).

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В данном случае медиана, проведенная из вершины C, пересекает сторону AB в точке M. Поскольку треугольник равнобедренный, то медиана также является высотой и биссектрисой.

Поскольку треугольник равнобедренный, AM и BM равны. Также AM равно 27.

Мы знаем, что AM = BM = 27 и AC = BC = 45.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины BM:

\[ BM = \sqrt{BC^2 - CM^2} \]

\[ BM = \sqrt{45^2 - \left(\frac{AC}{2}\right)^2} \]

\[ BM = \sqrt{45^2 - 22.5^2} \]

\[ BM = \sqrt{2025 - 506.25} \]

\[ BM = \sqrt{1518.75} \]

\[ BM = \sqrt{3 \times 506.25} \]

\[ BM = \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{506.25}}{\sqrt{3}} \]

\[ BM = \frac{\sqrt{3} \times 22.5}{\sqrt{3}} \]

\[ BM = 22.5 \]

Теперь, мы можем использовать тангенс угла BCM. Тангенс угла определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

\[ \tan(\angle BCM) = \frac{CM}{BM} \]

\[ \tan(\angle BCM) = \frac{\frac{AC}{2}}{BM} \]

\[ \tan(\angle BCM) = \frac{\frac{45}{2}}{22.5} \]

\[ \tan(\angle BCM) = \frac{45}{45} \]

\[ \tan(\angle BCM) = 1 \]

Таким образом, \(\tan(\angle BCM) = 1\).