Question

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF=16, BF=12.(Пожалуйста, решите не теоремой Пифагора)

Answer 1

Давайте обозначим через \(x\) длину боковой стороны AB трапеции ABCD. Поскольку AF и BF - биссектрисы углов A и B соответственно, давайте воспользуемся свойством биссектрисы.

Известно, что биссектриса угла делит противолежащую сторону трапеции на отрезки пропорциональные смежным сторонам. Таким образом, мы можем написать следующее уравнение:

\[\frac{AF}{BF} = \frac{AD}{DC}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{16}{12} = \frac{x}{AD}\]

Упростим:

\[\frac{4}{3} = \frac{x}{AD}\]

Теперь давайте рассмотрим треугольник ADF. Мы знаем, что AF - биссектриса, следовательно, мы можем использовать теорему угловой биссектрисы:

\[\frac{AD}{AB} = \frac{DF}{FB}\]

Подставим значения:

\[\frac{AD}{x} = \frac{DF}{12}\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[1) \quad \frac{4}{3} = \frac{x}{AD}\]

\[2) \quad \frac{AD}{x} = \frac{DF}{12}\]

Умножим обе стороны уравнения (1) на \(AD\):

\[4 = \frac{x}{AD} \cdot AD\]

Упростим:

\[4 = x\]

Теперь, зная значение \(x\), подставим его во второе уравнение:

\[\frac{AD}{4} = \frac{DF}{12}\]

Умножим обе стороны на 4:

\[AD = \frac{DF}{3}\]

Теперь мы знаем, что \(AD = \frac{DF}{3}\) и \(x = 4\), и можем выразить боковую сторону трапеции AB:

\[AB = AD + x = \frac{DF}{3} + 4\]

Теперь нам нужно выразить длину DF через известные значения AF и BF. Рассмотрим треугольник DFB. Мы можем использовать тот факт, что сумма углов треугольника равна 180 градусам:

\[DF + FB + \angle DFB = 180^\circ\]

Так как DF и FB - это биссектрисы углов D и F соответственно, то угол DFB равен половине суммы углов A и B:

\[\angle DFB = \frac{\angle A + \angle B}{2}\]

Подставим известные значения:

\[DF + 12 + \frac{\angle A + \angle B}{2} = 180^\circ\]

У нас есть следующая информация:

\[\angle A + \angle B = 180^\circ - \angle C\]

Подставим это в уравнение:

\[DF + 12 + \frac{180^\circ - \angle C}{2} = 180^\circ\]

Упростим:

\[DF + 12 + 90^\circ - \frac{\angle C}{2} = 180^\circ\]

\[DF - \frac{\angle C}{2} = 78^\circ\]

Теперь, учитывая, что треугольник DFB прямоугольный, мы можем использовать тот факт, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусам:

\[90^\circ + \frac{\angle C}{2} + \frac{\angle C}{2} = 180^\circ\]

\[90^\circ + \angle C = 180^\circ\]

\[\angle C = 90^\circ\]

Теперь, зная, что \(\angle C = 90^\circ\), мы можем решить уравнение для DF:

\[DF - \frac{\angle C}{2} = 78^\circ\]

\[DF - \frac{90^\circ}{2} = 78^\circ\]

\[DF - 45^\circ = 78^\circ\]

\[DF = 123^\circ\]

Теперь мы можем подставить значение DF в выражение для AB:

\[AB = \frac{DF}{3} + 4\]

\[AB = \frac{123^\circ}{3} + 4\]

\[AB = 41^\circ + 4\]

\[AB = 45\]

Итак, длина боковой стороны трапеции ABCD равна 45.