Question

На прямой отложены два равных отрезка AC и CB. На отрезке CB взята точка D, которая делит его в отношении 3:4 считая от точки С. Найдите расстояние между серединами отрезков АС и DB, если СD=18 см

Answer 1

Давайте обозначим длины отрезков AC и CB как a и b соответственно. Также пусть x будет расстоянием от точки C до точки D.

Из условия известно, что \(CD = 18 \, \text{см}\) и отношение, в котором точка D делит отрезок CB, равно 3:4.

Это значит, что \(\frac{CD}{DB} = \frac{3}{4}\). Так как \(CD = 18 \, \text{см}\), мы можем выразить DB в терминах x:

\[\frac{18}{DB} = \frac{3}{4}\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно DB:

\[DB = \frac{4 \cdot 18}{3} = 24 \, \text{см}\]

Также нам известно, что точка D делит отрезок CB в отношении 3:4, следовательно, \(BD = \frac{4}{7} \cdot CB\).

Теперь давайте найдем значения a и b. Так как AC и CB - два равных отрезка, то \(a = b\).

Расстояние между серединами отрезков AC и DB можно найти как половину разности их длин:

\[ \text{Расстояние между серединами} = \frac{1}{2} \left| a - \frac{4}{7} \cdot b \right| \]

Теперь подставим значения a и b:

\[ \text{Расстояние между серединами} = \frac{1}{2} \left| a - \frac{4}{7} \cdot a \right| \]

\[ \text{Расстояние между серединами} = \frac{1}{2} \left| \frac{3}{7} \cdot a \right| \]

Так как \(a = b\), то \( \text{Расстояние между серединами} = \frac{1}{2} \left| \frac{3}{7} \cdot b \right| \)

Таким образом, расстояние между серединами отрезков AC и DB равно половине от \(\frac{3}{7}\) от длины отрезка CB:

\[ \text{Расстояние между серединами} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7} \cdot b \]

Теперь подставим значение b:

\[ \text{Расстояние между серединами} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7} \cdot 24 \, \text{см} \]

\[ \text{Расстояние между серединами} = 6 \, \text{см} \]

Таким образом, расстояние между серединами отрезков AC и DB равно 6 см.