Question

Найдите углы прямоугольного треугольника если биссектрисы двух его углов пересекаются под углом 70

Answer 1

Для решения этой задачи, нам понадобится знание о свойствах биссектрисы треугольника.

Свойство 1: Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные смежным сторонам треугольника. Свойство 2: Биссектрисы двух углов треугольника пересекаются в точке, которая равноудалена от сторон треугольника.

Дано, что биссектрисы двух углов прямоугольного треугольника пересекаются под углом 70 градусов. Поскольку прямоугольный треугольник имеет один прямой угол, угол между биссектрисами равен 180 - 90 = 90 градусов.

Пусть точка пересечения биссектрис будет называться O, а углы треугольника - A, B и C, где угол C является прямым углом.

Так как биссектрисы делят противоположные стороны треугольника пропорционально, можно записать следующие отношения:

AO/OB = AC/CB AO/OC = AB/BC

Так как точка O равноудалена от сторон треугольника, то AO = BO = CO.

Используя свойства биссектрисы, мы можем записать следующее:

AO/OB = sin(A/2)/sin(B/2) AO/OC = sin(A/2)/sin(C/2)

Так как AO = BO = CO, то мы можем записать следующее:

sin(A/2)/sin(B/2) = sin(A/2)/sin(C/2)

Сокращая синусы, получаем:

1/sin(B/2) = 1/sin(C/2)

Так как sin(70) = sin(90-70) = sin(20), то мы можем записать:

1/sin(35) = 1/sin(20)

Учитывая, что sin(180-x) = sin(x), получаем:

1/sin(35) = 1/sin(160)

Таким образом, углы прямоугольного треугольника равны 35, 55 и 90 градусов.