Question

Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 120 градусов и удалена от оси на расстояние равное a. Диагональ в получившемся сечении равна 4a. найдите объём цилиндра

Answer 1

Для решения задачи нам понадобится найти радиус основания цилиндра.

Пусть радиус основания цилиндра равен R.

Так как плоскость параллельна оси цилиндра, то окружность основания будет пересекаться с плоскостью по дуге в 120 градусов. Значит, длина этой дуги составляет 120/360 = 1/3 от окружности основания.

Длина окружности основания цилиндра равна 2πR, поэтому длина дуги будет равна (1/3) * 2πR = (2/3)πR.

Также из условия известно, что диагональ в получившемся сечении равна 4a.

Диагональ сечения цилиндра представляет собой диаметр окружности основания, поэтому 4a = 2R.

Таким образом, R = 2a.

Теперь мы можем найти объем цилиндра.

Объем цилиндра вычисляется по формуле V = πR^2h, где h - высота цилиндра.

Высоту цилиндра нам неизвестна, поэтому обозначим ее через h.

Так как плоскость отсекает от окружности дугу в 120 градусов, то высота цилиндра будет равна длине этой дуги.

Высота цилиндра равна (2/3)πR = (2/3)π(2a) = (4/3)πa.

Теперь можем найти объем цилиндра:

V = πR^2h = π(2a)^2(4/3)πa = 4πa^2 * (4/3)πa = (16/3)πa^3.

Таким образом, объем цилиндра равен (16/3)πa^3.