Question

в параллелограмме ABCD точка M - середина стороны CD; N - точка на стороне AD, такая, что AN : ND = 1 : 2. Выразите векторы CN и MN через векторы b=BC и a = BA

Answer 1

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами параллелограмма и данной информацией о точках M и N.

1. Так как M - середина стороны CD в параллелограмме ABCD, то вектор CM равен половине вектора CD. То есть, \( \overrightarrow{CM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CD} \).

2. Также, учитывая, что N - точка на стороне AD такая, что \( \frac{AN}{ND} = \frac{1}{2} \), мы можем записать, что вектор AN равен двум третьим вектора AD. То есть, \( \overrightarrow{AN} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AD} \).

Теперь мы можем выразить векторы CN и MN через векторы b = BC и a = BA.

1. Вектор CN: \[ \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AN} \]

Заменяем вектор CA и AN: \[ \overrightarrow{CN} = -\overrightarrow{CD} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} \]

Теперь выражаем векторы CD и AD через векторы b и a: \[ \overrightarrow{CN} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{b} + \frac{2}{3}\overrightarrow{a} \]

2. Вектор MN: \[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CN} \]

Заменяем вектор MC и CN: \[ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{b} - \frac{1}{2}\overrightarrow{b} + \frac{2}{3}\overrightarrow{a} \]

Упрощаем выражение: \[ \overrightarrow{MN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{a} \]

Таким образом, мы выразили векторы CN и MN через векторы b = BC и a = BA: \[ \overrightarrow{CN} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{b} + \frac{2}{3}\overrightarrow{a} \] \[ \overrightarrow{MN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{a} \]