Question

найдите радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника если его гипотенуза и катет относятся как 5:3 а второй катет равен 16 см

Answer 1

Для нахождения радиуса описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника, мы можем воспользоваться следующей формулой:

\[ R = \frac{abc}{4S}, \]

где \( R \) - радиус описанной окружности, \( a, b, c \) - стороны треугольника, а \( S \) - его площадь.

В данном случае у нас есть прямоугольный треугольник со сторонами, где гипотенуза (пусть это будет \( c \)) и катет (пусть это будет \( a \)) относятся как 5:3. Также у нас есть второй катет, равный 16 см.

Мы можем представить гипотенузу и катет в виде:

\[ c = 5x, \] \[ a = 3x, \]

где \( x \) - некоторый коэффициент. Из условия треугольника мы также знаем, что:

\[ c^2 = a^2 + b^2, \]

подставим значения \( c \) и \( a \):

\[ (5x)^2 = (3x)^2 + (b)^2, \]

решим это уравнение относительно \( b \):

\[ 25x^2 = 9x^2 + b^2, \]

\[ 16x^2 = b^2. \]

Теперь у нас есть значение \( b \). Также, площадь треугольника \( S \) может быть найдена как:

\[ S = \frac{1}{2}ab. \]

Подставим значения \( a \) и \( b \):

\[ S = \frac{1}{2}(3x)(b) = \frac{1}{2}(3x)(4x) = 6x^2. \]

Теперь мы можем подставить значения \( a, b, \) и \( S \) в формулу для радиуса \( R \):

\[ R = \frac{abc}{4S} = \frac{(3x)(4x)(5x)}{4(6x^2)} = \frac{60x^3}{24x^2} = \frac{5}{2}x. \]

Теперь, чтобы найти \( x \), мы можем воспользоваться вторым катетом \( a \):

\[ 3x = 16, \]

\[ x = \frac{16}{3}. \]

Теперь, подставив \( x \) в выражение для радиуса \( R \):

\[ R = \frac{5}{2} \cdot \frac{16}{3} = \frac{40}{3}. \]

Таким образом, радиус описанной окружности равен \(\frac{40}{3}\) см.