Question

Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно b и образует с высотой пирамиды угол бета. Найти площадь поверхности сферы, описанной около пирамиды.

Answer 1

Давайте разберемся с задачей. Пусть у нас есть правильная четырехугольная пирамида, и мы обозначим боковое ребро этой пирамиды как \(b\). Также у нас есть высота пирамиды и угол между боковым ребром и высотой, который мы обозначим как \(\beta\).

Для начала, найдем боковую грань пирамиды. Поскольку пирамида правильная, у неё все боковые грани равны. Пусть \(s\) - длина стороны основания пирамиды. Тогда боковая грань - прямоугольный треугольник, где катеты равны \(s\) и \(b\), а гипотенуза - боковое ребро. С использованием теоремы Пифагора, мы можем записать:

\[b^2 = s^2 + h^2\]

Теперь давайте рассмотрим сферу, описанную вокруг этой пирамиды. Радиус этой сферы будет расстоянием от центра сферы до любой вершины пирамиды. Обозначим радиус сферы как \(R\).

Так как пирамида правильная, мы можем соединить центр сферы с вершиной пирамиды, образуя радиус сферы, боковое ребро пирамиды и половину диагонали основания пирамиды. Таким образом, у нас получается прямоугольный треугольник с катетами \(R\) и \(\frac{s}{2}\) и гипотенузой \(R + h\). Мы можем записать:

\[(\frac{s}{2})^2 + R^2 = (R + h)^2\]

Решив эту систему уравнений, мы сможем найти значения \(R\) и \(h\). После этого мы можем использовать формулу для площади поверхности сферы:

\[S = 4\pi R^2\]

Где \(\pi\) - математическая константа, приблизительно равная 3.14159.

Таким образом, шаги решения задачи:

1. Найти \(h\) и \(R\) из системы уравнений. 2. Подставить значения \(R\) в формулу для площади поверхности сферы.

Удачи!