Question

В треугольнике ABC угол C равен 90° а угол A равен 70° CD — биссектриса. найдите угол CDA

Answer 1

Для решения данной задачи нам понадобится использовать свойства биссектрисы треугольника.

Из условия задачи известно, что угол C равен 90°, а угол A равен 70°. Также дано, что CD является биссектрисой.

Свойство биссектрисы гласит, что она делит противолежащую сторону треугольника на отрезки, пропорциональные смежным сторонам.

Обозначим точку пересечения биссектрисы CD с стороной AB как точку E. Тогда, согласно свойству биссектрисы, отношение длины отрезка CE к длине отрезка EA будет равно отношению длины стороны BC к длине стороны AC.

Давайте найдем эти отношения:

У нас есть угол C, равный 90°, поэтому треугольник ABC является прямоугольным. Из прямоугольного треугольника мы можем применить теорему Пифагора: AC² = AB² + BC².

Так как угол A равен 70°, то угол B равен 180° - 90° - 70° = 20°.

Теперь мы можем составить пропорцию:

CE / EA = BC / AC

Заметим, что BC / AC = sin(B) / sin(A) = sin(20°) / sin(70°).

Таким образом, CE / EA = sin(20°) / sin(70°).

Теперь мы можем найти значение этой пропорции, используя тригонометрические таблицы или калькулятор:

CE / EA ≈ 0.342 / 0.939 ≈ 0.364.

Теперь мы знаем, что отношение длины отрезка CE к длине отрезка EA равно примерно 0.364.

Найдем угол CDA:

Угол CDA равен 180° - угол CAD - угол CEA.

Угол CAD равен половине угла A, так как CD является биссектрисой. Угол CAD = 70° / 2 = 35°.

А угол CEA можно найти по теореме о синусах:

sin(CEA) / EA = sin(A) / AC

sin(CEA) = (sin(A) / AC) * EA

sin(CEA) ≈ (sin(70°) / 0.939) * 0.939 ≈ sin(70°) ≈ 0.939.

Теперь мы можем найти угол CEA, используя обратную функцию синуса:

CEA ≈ arcsin(0.939) ≈ 69.3°.

Таким образом, угол CEA ≈ 69.3°.

Теперь мы можем найти угол CDA:

угол CDA = 180° - угол CAD - угол CEA

угол CDA = 180° - 35° - 69.3°

угол CDA ≈ 75.7°.

Итак, угол CDA примерно равен 75.7°.