Question

В основании пирамиды лежит прямоугольник. Одна из боковых граней наклонена к основанию под углом 30°, а противоположная ей грань перпендикулярна основанию и имеет вид прямоугольного треугольника с прямым углом при вершине пирамиды и острым углом, равным 60°. Сумма высот этих двух граней равна 9. Определить объем пирамиды.

Answer 1

Проведём вертикальное сечение через вершину пирамиды перпендикулярно рёбрам основания.

В сечении прямоугольный треугольник, один катет - высота пирамиды (она равна высоте hв вертикальной грани), второй катет равен ширине прямоугольника основания, гипотенуза - высота hн наклонной грани.

Так как угол 30 градусов, то hн = 2hв.

Их сумма 3hв = 9, тогда hв = 9/3 = 3.

Ширина прямоугольника равна 3/tg 30° = 3/(1/√3) = 3√3.

Длину основания находим как гипотенузу прямоугольного треугольника с углами 30 и 60 градусов и высотой 3.

Один катет равен 2*3 = 6 (против угла в 30 градусов), второй равен 3/(√3/2) = 6/√3 = 2√3.

Длина основания равна √(6² + (2√3)²) = √(36 + 12) = √48 = 4√3.

Площадь основания So = 3√3*4√3 = 36 кв.ед.

Объем пирамиды V = (1/3)SoH = (1/3)*36*3 = 36 куб.ед.

Answer 2

Вариант решения.

Ответ: 36 ед. объёма

Объяснение:  

   Углы между плоскостями боковых граней и плоскостью основания -  двугранные. Их величина  определяется градусной мерой линейного угла, сторонами которого являются лучи, проведённые в его гранях перпендикулярно ребру с общим началом на нём. Обозначим пирамиду SABCD . Пусть  перпендикулярна плоскости АВСD грань ЅАВ ⇒ её высота ЅН перпендикулярна любой прямой в этой плоскости.

Проведём НК║ВС. Т.к. АВСD  прямоугольник, НК⊥СD, и наклонная ЅК⊥CD по т.о 3-х перпендикулярах⇒ ∠ЅКН =30°.

В прямоугольном ⊿ ЅНК с острым углом 30° гипотенуза ЅК=2 катета ЅН, который противолежит углу 30° (свойство) ⇒ 2ЅН+ЅН=9, откуда ЅН=3.

В ⊿ ВЅН угол В=60° ⇒ ВЅ=ЅН:sin60°=2√3

В ⊿ ВЅА гипотенуза АB=ЅВ•cos60°=4√3

В ⊿ ЅКН угол ЅКН=30° ⇒ KH=SH•ctg30°=3√3

Формула объёма пирамиды V=S•h:3, где Ѕ - площадь основания пирамиды, h- её высота. АD=KH=3√3

V=AB•AD•SH/3=4√3•3√3•3/3=36 (ед. объёма).