Question

В правильной четырехугольной пирамиде МАВСД с вершиной М стороны основания равны 3/2, а боковые ребра равны 4. точка К принадлежит ребру МВ, причем МК:КВ=2:1. найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки А и К параллельно ВД

Answer 1

На самом  деле плоскость проходит не через С, а через B и N. На рисунке она правильно изображена. Плоскость АМС сечение пересекает по прямой, параллельной АС. Отсюда сразу следует, что (если обозначить К точку пересечения МА и сечения), что поскольку KN II AC, АК/КС = CN/NM = 1/2;

Поэтому, во первых, KN = АC*2/3) (из подобия треугольников АМС и MKN), и - во вторых, (если обозначить Р - точку пересечения высоты пирамиды МО и сечения) МР/РО = 2/1, то есть Р - точка пересечения медиан треугольника MBD. То есть прямая ВР, лежащая в плоскости сечения - это медиана треугольника MBD. То есть сечение делит MD пополам (надо еще обозначить Q - середина MD). 

Легко видеть, что KN перпендикулярно плоскости MBD (обоснование! - самостоятельно), то есть KN перпендикулярно BQ. Таким образом, в четырехугольнике BKQN, который получается в сечении, диагонали KN и BQ взаимно перпендикулярны.

Площадь BKQN равна половине произведения диагоналей, S = KN*BQ/2; KN = 2√2/3; осталось найти BQ. 

BQ - медиана в равнобедренном треугольнике BMD со сторонами BM = MD =2; BD = √2;

(2*BQ)^2 = 2*(BD)^2 + MD^2 = 8; BQ = √2; (занятно, что треугольник BQD подобен треугольнику MBD);

S = √2*(2√2/3)/2 = 2/3.