Question

Диагональная плоскость прямоугольного параллелепипеда и лежащая в ней диагональ d образуют с одной и той же боковой гранью соответственно углы α и β . Найдите измерения параллелепипеда.

Answer 1

Пусть основание ABCD - прямоугольного параллелепипеда: обозн. AB =a ;AD =b; BB₁=c.
диагональная плоскость  BB₁D₁D ; <ABD =<A₁B₁D₁ =α ; <AB₁D =β ;B₁D =d 
.
Из ΔB₁AD :   b =dsinβ ;
Из  ΔABD :    a =b*ctqα =dsinβctqα ;
a² +b² +c² =d²⇒ c =√(d² -a² -b²) =√(d² -(dsinβctqα)² -(dsinβ)²) =d√(1-sin²β(1+ctq²α)) =
d√(1-sin²β/sin²α) = d/sinα√(sin²α- sin²β) .
-------------------
c =d/sinα√(sin²α- sin²β)  =d/sinα√((1-cos2α)/2 - (1-cos2β)/2)  =d/sinα√((cos2β -cos2α)/2)=
d/sinα√sin(α -β)sin(α+β).