Question

В четырехугольник ABCD с диагоналями АС=7 и BD=12 вписана окружность радиуса 3. Известно, что AB=AD. Найдите площадь треугольника ABD.Ребята решите пожалуйста!

Answer 1

1.Если в четырехугольник вписана окружность и две стороны равны, то и другие две тоже равны. ( доказывается так же как доказывается теорема о том что если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы противолежащих сторон равны)

2. АСперпендикулярна ВД.( треугольники адс и абс равны по трем сторонам - значит ас - биссектриса, а т.к треугольник АВД равнобедренный, то высота и медиана) отсюда

3 ВД  точкой пересечения делится пополам. обозначим ее О. ВО=Од=6

Вспомним формулу площади четырехугольника - половина произведения диагоналей на синус угла между ними, а , т.к диагонали перпендикулярны, то половине произведения диагоналей, т.еSавсд= АС*ВД/2=42.

4. Площадь четырехугольника равна - произведению полупериметра на радиус вписанной окружности, т.е.(P/2)*r. (P/2)*3=42, (P/2)=14, P=28

5. АО=х, ОС=(7-х)

6. По теореме пифагора находим АВ и ВС и помним, что их сумма равна полупериметру.

$\sqrt{x^{2}+6^{2}} +\sqrt{((7-x)^{2}}+6^{2}) = 14$

Переносим один из корней в левую часть, возводим в квадрат,$x^{2}$ уничтожаются $36^{2}$ уничтожаются. еще раз разделяем на две стороны и возводим в квадрат

$(7-x){2}+6^{2}=14^{2}-28\sqrt{x^{2}+6^{2}}+x^{2}+6^{2}; 49-14x+x^{2}+6^{2}=14^{2}-28\sqrt{x^{2}+6^{2}}+x^{2}+6^{2}; 28\sqrt{x^{2}+6^{2}}=147+14x /7 4\sqrt{x^{2}+6^{2}}=21+2x$

 уменя получилось уравнение $12x^{2}-84х+135=0 /3$

$x^{2}-28x+45=0$

х=2,5 или х=4.5

находим площадь, учитывая. что диагонали взаимно перпендикулярны

12*2,5)/2=15 или (12+4,5)/2=27.

проверьте вычисленпия, могла ошибиться.