Question

100 баллов, срочнодиагональ правильной четырехугольной призмы равна 35 дц, а диагональ боковой грани равна 25 дц. вычислите объем призмыоснование пирамиды является прямоугольник со сторонами 10 см и 24 см боковые ребра образуют с основанием углы 60°. вычислите объем пирамиды

Answer 1

А) Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 35 дц, а диагональ боковой грани равна 25 дц. Вычислите объем призмы.

ДАНО: АВСDA1B1C1D1 - правильная четырехугольная призма ; B1D = 35 дц ; C1D = 25 дц.

НАЙТИ: V ( призмы )
__________________________

РЕШЕНИЕ:

см. рис. 1

1) По свойству правильной четырехугольной призмы отрезок В1С1 перпендикулярен плоскости C1D1D => В1С1 перпендикулярен C1D

Значит, ∆ В1С1D - прямоугольный, угол B1C1D = 90°

По теореме Пифагора:

B1D² = B1C1² + C1D²

B1C1² = 35² - 25² = ( 35 - 25 )( 35 +25 ) = 10 × 60 = 600

B1C1 = 10√6 дц

2) B основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат

Рассмотрим ∆ С1DC ( угол C1CD = 90° ) :

По теореме Пифагора:

C1D² = C1C² + CD²

C1C² = 25² - ( 10√6 )² = 625 - 600 = 25

C1C = 5 дц

3) V ( призмы ) = S осн. × h = S abcd × C1C =
$= 10 \sqrt{6} \times 10 \sqrt{6} \times 5 = 600 \times 5 = 3000$


ОТВЕТ: V ( призмы ) = 3000 дц³


Б) Основание пирамиды является прямоугольник со сторонами 10 см и 24 см, боковые ребра образуют с основанием углы 60°. Вычислите объем пирамиды.

ДАНО: ABCGH - четырёхугольная пирамида ;
ABCG - прямоугольник ; угол НАС = 60° ; АВ = 10 см ; ВС = 24 см.

НАЙТИ: V ( пирамиды )
___________________________

РЕШЕНИЕ:

см. рис. 2

Так как все боковые ребра пирамиды образуют с основанием углы в 60°, значит, пирамида является правильной, то есть все боковые ребра пирамиды равны.

1) Рассмотрим ∆ ACG ( угол AGC = 90° ) :

По теореме Пифагора:

AC² = AG² + CG²

AC² = 24² + 10² = 576 + 100 = 676

AC = 26 см

Опустим высоту ОН пирамиды, тогда высота проецируется в центр основания ( прямоугольника ). Центром прямоугольника является точка пересечения его диагоналей.

АО = ОС = 1/2 × АС = 1/2 × 26 = 13 см - по свойству пересечения диагоналей прямоугольника

2) Рассмотрим ∆ АНО ( угол АОН = 90° ) :

tg HAO = OH / AO

tg 60° = OH / 13

OH = 13 × tg 60° = 13 × √3 = 13√3 см

3) V ( пирамиды ) = 1/3 × S осн. × h = 1/3 × S abcg × OH =
$= \frac{1}{3} \times 24 \times 10 \times 13 \sqrt{3} = 1040 \sqrt{3}$

ОТВЕТ: V ( пирамиды ) = 1040√3 см³