Question

Медыани трикутника дорывнюють 3,4,5 см.Найти площу цього трикутника.

Answer 1

Дан треугольник АВС, АА₁ , ВВ₁, СС₁- его медианы, которые пересекаются в точке М ( см. рисунок)
Отложим отрезок В₁К, равный МВ₁
Четырехугольник АМСК параллелограмм, так как его диагонали в точке В₁ делятся пополам.
 Значит 
S (Δ AMK)= S (Δ AMB₁) + S(Δ AB₁K)= S(Δ AMB₁)+S(Δ MB₁C)=S(Δ AMC)=1/3 S( Δ ABC)
Треугольник АМС и АВС имеют общее основание АС
ВМ:ВВ₁=2:1медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, значит В₁М:В₁В =1:3 и
 высота треугольника АМС в три раза меньше высоты треугольника АВС.
Кроме того,
$AM = \frac{2}{3}m _{a}, MK= \frac{2}{3} m _{b} , CM= \frac{2}{3}m _{c}$
Проведём А₁Т || МК. Тогда треугольники АА₁Т и АМК подобны и АА₁=3/2·АМ= $=m _{a}$
Из подобия треугольников получаем
$AT=m _{c} , A _{1}T=m _{b}$
т.е. стороны треугольника АА₁Т равны медианам данного треугольника

$S _{\triangle AA _{1} T} = \frac{1}{2} AA _{1} \cdot AT\cdot sin \angle A _{1}AT = \\ = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}AM\cdot \frac{3}{2} AK\cdot sin\angle MAK= \frac{9}{4}( \frac{1}{2} \cdot AM\cdot AK \cdot sin\angle MAK)= \\ = \frac{9}{4} S _{\triangle AMK}= \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{3}S _{\triangle ABC} = \frac{3}{4} S _{\triangle ABC}$

Значит площадь треугольника АВС в 4/3 раза больше площади треугольника из медиан.
Площадь треугольника, образованного медианами 3,4, 5 равна  6 кв. см.
Это прямоугольный треугольник 5²=3²+4²
Площадь такого треугольника равна половине произведения катетов.
Площадь треугольника АВС 4/3·6=24/3=8 кв. см