Question

100 Баллов!Основанием пирамиды MABCD является параллелограмм. Ребро AM пирамиды параллельно плоскости основания ABCD. AB = AC = a. Угол BAC = 2φ, а угол между плоскостью основания и гранью MBC = φ. Вычислите полную площадь пирамиды.

Answer 1

Треугольник АВС - равнобедренный. АС=АВ=а, угол при вершине равен 2β ( всместо буквы  фи)
Тогда углы при основании этого треугольника
∠ В=  ∠ АСВ= (180°-2β)/2=90°-β
И значит
   ∠ D= 90°-β
Найдем площадь треугольника АВС
S(Δ ABC)= (1/2)·AC·AB·sin 2β=(a²/2)·sin2β
S(осн)=2·S(ΔABC)     так как Δ АВС= ΔADC
S(осн)=2·(a²/2)·sin2β=a²·sin2β
С другой стороны площадь основания равна произведению стороны на высоту, проведенную к стороне.
S(осн)=DC·AK  ⇒ 
$AK= \frac{a ^{2}sin2 \beta }{a}=asin2 \beta$
Площадь параллелограмма также равна произведению сторон на синус унла между ними
S(осн)=AD·DC ·sin∠ D ⇒ 
$AD= \frac{S}{DC\cdot sin (90 ^{o}- \beta ) }= \frac{a ^{2}sin 2 \beta }{acos \beta }=2asin \beta$
Найдем АТ, зная, что площадь основания равна произведению стороны на высоту, проведенную к стороне.
S(осн)=ВC·AТ  ⇒ 
$AT= \frac{S}{BC}= \frac{a ^{2}sin 2 \beta }{AD}= \frac{a ^{2}sin 2 \beta }{2a sin \beta }=acos \beta$

Рассмотрим треугольник МAТ:
$sin (\angle MTA)= \frac{MA}{AT}$
MA=AT·sinβ=acosβ·sinβ
Боковая поверхность
1) S(ΔМАВ)=(1/2)MA·AB=(1/2)·a²·cosβ·sinβ
2) S(ΔМАD)=(1/2)MA·AD=(1/2)·a·cosβ·sinβ·2a·sinβ

Из треугольника МАК найдем апофему МК по теореме Пифагора
 МК²=MA²+AK²=(acosβ·sinβ)²+(asin2β)²=a²cos²βsin²β+4a²cos²βsin²β=(разложили sin2β=2sinβcosβ)=5a²sin²βcos²β
MK=a√5sinβcosβ
3) S(ΔМDC)=(1/2)DC·MK=(1/2)·a²√5sinβcosβ

Из треугольника МАТ найдем апофему МТ по теореме Пифагора
 МТ²=MA²+AТ²=(acosβ·sinβ)²+(acosβ)²=a²cos²βsin²β+a²cos²β=a²cos²β(1+cos²β)
MT=acosβ√(1+cos²β)
4) S(ΔМBC)=(1/2)BC·MТ=(1/2) AD·MT= (1/2)·a²·sinβ·cos²β·√(1+cos²β)

 Осталось сложить ответы п. 1)-4) и получим боковую поверхность
Если прибавим площадь основания, то получим полную поверхность