Question

В правильный тетраэдр ,ребро которого равно a,вписана сфера.Найдите радиус сферы.

Answer 1

Проведём осевое сечение через боковое ребро ВР.
Имеем равнобедренный треугольник ВРД, одна сторона - это ребро ВР тетраэдра а и 2 других - это апофемы РД и ВД.
Апофема А равна: А = а√3/2.
Высота ДК из точки Д на сторону ВР равна:
ДК = √(А² - (а/2)²) = √((3а²/4) - (а²/4)) = √(2а²/4) = а√2/2.
Тангенс угла ВДК, включающего точку О, равен:
tg(ВДК) = (а/2)/ДК = (а/2)/(а√2/2) = 1/√2 = √2/2.
Искомый радиус r вписанной сферы равен:
r = ДН*tg(ВДК).
Отрезок ДН = (1/3)А = а√3/6.
Получаем r = (a√3/6)*(√2/2) = a√6/12 ≈  0,204124a.
В приложении дано сечение ВРД при а = 1.