Question

Вычисли меньшую сторону и площадь прямоугольника, если его большая сторона равна 4,5 см, диагональ равна 3√3 см и образует с меньшей стороной угол 60 градусов.

Answer 1

ΔACD: ∠D = 90°, ∠C = 60°, ⇒ ∠A = 30°
Напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы:
CD = AC/2 = 1,5√3 см

S = AD · CD = 4,5 · 1,5√3 = 6,75 см

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника. Для начала, давайте обозначим стороны прямоугольника.

Пусть \( a \) и \( b \) - это меньшие стороны прямоугольника (меньшая и большая соответственно). Тогда, у нас есть следующие данные:

- Большая сторона \( b = 4.5 \) см. - Диагональ \( c = 3\sqrt{3} \) см. - Угол \( \angle ACB = 60^\circ \) (где \( AC \) - диагональ, \( AB \) - большая сторона, \( BC \) - меньшая сторона).

Сначала найдем меньшую сторону \( b \) с использованием косинуса угла \( \angle ACB \):

\[ \cos(\angle ACB) = \frac{BC}{AC} \]

\[ \cos(60^\circ) = \frac{b}{3\sqrt{3}} \]

\[ \frac{1}{2} = \frac{b}{3\sqrt{3}} \]

\[ b = \frac{3\sqrt{3}}{2} \]

Теперь у нас есть значение \( b \), и мы можем найти значение \( a \) с использованием теоремы Пифагора, так как у нас есть диагональ и одна из сторон:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

\[ a^2 + \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \left(3\sqrt{3}\right)^2 \]

\[ a^2 + \frac{27}{4} = 27 \]

\[ a^2 = \frac{99}{4} \]

\[ a = \frac{3\sqrt{11}}{2} \]

Таким образом, меньшая сторона прямоугольника \( a \) равна \( \frac{3\sqrt{11}}{2} \) см, а большая сторона \( b \) равна \( \frac{3\sqrt{3}}{2} \) см. Площадь прямоугольника можно вычислить как произведение этих сторон:

\[ \text{Площадь} = a \cdot b = \frac{3\sqrt{11}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} \]