Question

Пожалуйста помогите, запуталась - жуть! В прямоугольном треугольнике АВС угол С=90 гр, АВ=8 см., угол АВС=45 гр. Найти: а) АС, в) высоту CD, проведённую к гипотенузе.

Answer 1

Треугольник АВС равнобедренный, поскольку угол С=90, В=45, А=90-45=45, следовательно, гипотенуза АВ является его основанием. Сначала найдем высоту СD. В равнобедренном треуг. высота, проведенная к основанию, является бисектриссой и медианой, следовательно, угол АСD=90/2=45. Получили, что треуг. ADC также равнобедренный: AD=CD=AB/2=8/2=4см.

Ответ: в) CD=4см

 

Так как треуг. ADC равнобедренный (AD=CD=4см) и прямоугольный (так как CD высота), то АС найдем по теореме пифагора: АС=√(16+16)=√32=4√2см

Ответ: а) АС=4√2см

Answer 2

Для начала воспользуемся известными нам данными и формулами для прямоугольного треугольника. У нас уже заданы два угла треугольника: угол С = 90 градусов и угол АВС = 45 градусов.

Также нам известна сторона АВ = 8 см.

а) Чтобы найти сторону АС, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора. В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

В нашем случае четырехугольник АВС превращается в прямоугольный треугольник, если мы представим, что на нем стоит отрезок СD - высота. Тогда прямоугольник АBCD является биссектрисой угла АСВ, так как высота проведена к гипотенузе СВ.

Покажем данную теорему, положив СD = h:

Треугольник СAD соподобен треугольнику СВА по теореме об углах при основании, так как угол ВАС = углу АВС (они оба равны 45 градусов). Также треугольник САD соподобен треугольнику СВС по двум углам, так как они оба прямоугольные. Используя это, мы можем написать пропорции:

СA/AD = ВA/АВ = СB/ВС = СВ/SA, где АВ = 8 см и угол АВС = 45 градусов. С В результате получим следующие равенства:

8/AD = 8/h = √2 / AC

Таким образом, AD = h = 8 * h / 8 = √2 * h / √2 = AC, AD = h = AC.

В нашем случае сторона АВ равна 8 см, поэтому АС = AD = h.

б) Теперь нам нужно найти высоту СD, проведенную к гипотенузе СВ.

Мы уже знаем, что треугольник САD соподобен треугольнику СВС по двум углам, так как они оба прямоугольные. Значит, соотношение сторон треугольника СВС будет таким:

СB/ВС = SB/BC.

Здесь SB - это гипотенуза треугольника СВС, а BC - катет. Мы уже знаем, что сторона АВ = 8 см, поэтому сторона ВС равна 8 см.

Теперь мы можем написать пропорцию:

8/BC = SB/8.

Таким образом, высота СD будет равна SB.

в) Чтобы найти высоту СD, нам нужно знать значение гипотенузы SB. Для этого мы можем воспользоваться теоремой Пифагора.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. У нас уже известна сторона ВС = 8 см, поэтому мы можем записать:

AC^2 + SB^2 = AB^2, h^2 + SB^2 = 8^2, h^2 + SB^2 = 64.

Мы уже знаем, что СD=h, поэтому можем заменить h на CD:

CD^2 + SB^2 = 64.

Теперь нам нужно найти значение SB. Если мы применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику СВС, то получим:

CB^2 + SB^2 = SB^2, 8^2 + SB^2 = SB^2, 64 + SB^2 = SB^2.

Так как на одной стороне равенства находятся два одинаковых слагаемых, которые складываются в ноль (SB^2 в обоих случаях), то оставшееся слагаемое (64) также равно нулю.

Таким образом, у нас есть система уравнений:

CD^2 + SB^2 = 64, 64 + SB^2 = SB^2,

из которой видно, что CD^2 = 64 и SB^2 = 0.

Решим это уравнение:

CD = √64 = 8 см,

Таким образом, длина высоты CD равна 8 см.