Question

НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА С ВЕРШИНАМИ А(1,-2,0)В(3,1,-1)С(-3,4,2)

Answer 1

$AB=\{3-1;1-(-2);-1-0\}=\{2;3;-1\}\\ \\ AC=\{-3-1;4-(-2);2-0\}=\{-4;6;2\}$

$AB\cdot AC= \left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&3&-1\\-4&6&2\end{array}\right|=i(3\cdot2+1\cdot6)-j(2\cdot2-1\cdot4)+\\ \\ +k(2\cdot6+3\cdot4)=12i-0j+24k\\ \\ |AB\cdot AC|=|\{12;0;24\}|= \sqrt{12^2+24^2} = \sqrt{12^2+12^2\cdot4} =12 \sqrt{5}$


Площадь

$S= \frac{12 \sqrt{5} }{2} =6 \sqrt{5}$

Answer 2

Для нахождения площади треугольника с заданными вершинами, можно использовать формулу площади Герона.

Пусть A(1, -2, 0), B(3, 1, -1) и C(-3, 4, 2) - вершины треугольника.

Для начала, вычислим длины сторон треугольника:

AB = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²] = √[(3 - 1)² + (1 - (-2))² + (-1 - 0)²] = √[2² + 3² + 1²] = √[4 + 9 + 1] = √14

BC = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²] = √[(-3 - 3)² + (4 - 1)² + (2 - (-1))²] = √[(-6)² + 3² + 3²] = √[36 + 9 + 9] = √54 = 3√6

CA = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²] = √[(1 - (-3))² + (-2 - 4)² + (0 - 2)²] = √[4² + (-6)² + (-2)²] = √[16 + 36 + 4] = √56 = 2√14

Теперь, используя формулу площади Герона, можно найти площадь треугольника:

S = √[p(p - AB)(p - BC)(p - CA)]

где p - полупериметр треугольника.

p = (AB + BC + CA) / 2 = (√14 + 3√6 + 2√14) / 2 = (√14 + 2√14) / 2 + 3√6 / 2 = (3√14) / 2 + (3√6) / 2 = (3/2)(√14 + √6)

S = √[(3/2)(√14 + √6) * (3/2)(√14 + √6 - √14) * (3/2)(√14 + √6 - √6) * (3/2)(√14 + √6 - √14 - √6)] = √[(9/4)(√14 + √6) * (√14 - √14 + √6) * (√14 - √6 + √14) * (√14 - √14 - √6 + √6)] = √[(9/4)(√14 + √6) * (√6) * (2√14) * (0)] = √[0] = 0

Таким образом, площадь треугольника с вершинами A(1, -2, 0), B(3, 1, -1) и C(-3, 4, 2) составляет 0.