Question

Угол правильного многоугольник-многоугольник в 3 раза больше его внешнего угла.Найдите углы и количество сторон данного многоугольника

Answer 1

Пусть внешний угол=х
тогда угол =3х
в сумме они дают 180, т.е   х+3х=180       4х=180        х=45
тогда угол многоугольника будет 3*45=135

сумма внешних углов выпуклого многоугольника (а он у нас выпуклый, т.к. правильный) = 360
тогда кол-во углов=360/45=8

Answer 2

Пусть у нас есть правильный многоугольник со сторонами и углами.

По определению правильного многоугольника, все его стороны равны, а все его углы тоже равны.

Пусть у нас есть внешний угол данного многоугольника, обозначим его α.

По условию, внутренний угол данного многоугольника будет равен α/3.

Также, известно, что сумма всех внутренних углов в многоугольнике равна (n-2) * 180°, где n - количество сторон многоугольника.

Таким образом, мы можем записать следующее равенство:

(n-2) * 180° = n * (α/3)

Упрощая это уравнение, получим:

3 * (n-2) * 180° = n * α

540° * (n-2) = n * α

Раскроем скобки:

540° * n - 1080° = n * α

Заметим, что угол α и количество сторон n должны быть положительными числами.

Изобразим возможные значения n на числовой оси.

Поскольку угол α больше, чем внешний угол многоугольника, или α > 360°/n, это означает, что угол α должен быть больше 120°.

Таким образом, нашим критерием для нахождения количества сторон является наличие натурального числа n, при котором угол α = 3 * α/n будет в пределах от 120° до 180°.

Путем проб и ошибок можно найти такие значения. Например, для α = 150° пробуем различные значения n:

n = 4: 540° * 4 - 1080° = 4 * 150°, что удовлетворяет уравнению.

Таким образом, найденное количество сторон многоугольника равно 4, а его углы можно найти следующим образом:

180° * (n-2) / n = 180° * (4-2) / 4 = 180° * 2 / 4 = 90°.

Итак, данный многоугольник будет иметь 4 стороны и углы каждого из них будут равны 90°.