Question

Площа основи конуса S велика, площа його поверхні 3S. Під яким кутом нахилина твірна до площіни основи?

Answer 1

Площа бічної поверхні конуса   Sб = So / cos a . де а - кут нахилу твірної до площини основи.

У даному випадку  Sо = S ,  Sб = 3 * S - S = 2 * S ,  тому

cos a = S / (2 * S) = 1/2 ,  звідки  а = 60 градусів.

 

Answer 2

Для розв'язання цього завдання використаємо формули для площі основи і поверхні конуса.

Припустимо, що площа основи конуса дорівнює \( S \), а площа його поверхні дорівнює \( 3S \).

1. Площа основи конуса (\( S \)) обчислюється за формулою:

\[ S = \pi r^2 \]

де \( r \) - радіус основи конуса.

2. Площа поверхні конуса (\( 3S \)) обчислюється за формулою:

\[ 3S = \pi r^2 + \pi r l \]

де \( l \) - висота конуса.

Ми можемо поділити обидві формули на \( \pi r^2 \):

\[ \frac{3S}{S} = \frac{\pi r^2 + \pi r l}{\pi r^2} \]

Спростимо вираз:

\[ 3 = 1 + \frac{l}{r} \]

Отже, отримаємо:

\[ \frac{l}{r} = 2 \]

Це означає, що висота конуса \( l \) дорівнює \( 2r \). Тепер, щоб знайти кут нахилу твірної до площини основи, ми можемо використати тангенс кута нахилу:

\[ \tan(\theta) = \frac{l}{r} \]

Підставимо значення \( l = 2r \):

\[ \tan(\theta) = \frac{2r}{r} \]

Спростимо вираз:

\[ \tan(\theta) = 2 \]

Тепер, щоб знайти кут \( \theta \), використаємо арктангенс:

\[ \theta = \arctan(2) \]

Отже, кут нахилу твірної до площини основи конуса дорівнює \( \arctan(2) \). Це приблизно \( 63.43^\circ \).