Question

ДАЮ МНОГО БАЛЛОВ!!! Окружность, диаметром которой служит одна из сторон треугольника, проходит через серединудругой стороны. Докажите что треугольнмк равнобедренный.

Answer 1

По условию: АО=ОС и АD=DB. Значит ОD - средняя линия треугольника АВС и равна половине ВС.
Но ОD=АО, как радиусы окружности. Значит ВС=2*OD=АС.
То есть треугольник АВС равнобедренный, что и требовалось доказать.

Answer 2

Предположим, что треугольник ABC не является равнобедренным. Пусть AB - основание треугольника, а CD - диаметр окружности, проходящей через середину стороны AB.

Так как треугольник ABC не является равнобедренным, то AC ≠ BC. Пусть AC > BC.

Поскольку CD - диаметр окружности, то AD = DB. Пусть M - середина стороны AB. Тогда AM = MB.

Рассмотрим треугольники AMC и BMC. У них равны стороны AM = MB и общий угол C, следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу.

Следовательно, углы AMC и BMC равны. Но угол AMC = угол BMC = 90°, так как точка D - середина стороны AB, а диаметр перпендикулярен к хорде.

Таким образом, у треугольника ABC есть два равных угла, что противоречит предположению о том, что треугольник не равнобедренный.

Следовательно, треугольник ABC является равнобедренным.

Таким образом, мы доказали, что если окружность, диаметром которой служит одна из сторон треугольника, проходит через середину другой стороны, то треугольник является равнобедренным.