Question

В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями 16 см и 30 см а диагональ боковой грани призмы образует с основанием угол 60 градусов Найдите площадь боковой поверхности призмы

Answer 1

Дано: Призма прямая в основании ромб ABCD.
АС=d1=30 BD=d2=16. ∠ C1BC=60°
 Sбок=?
Решение:
Основание ромб значит:
4a²=d1²+d2²
a= √(d1²+d2²)/4
a= √(30²+16²)/4=√(900+256)/4=√1156/4=√289=17
a=17
По теореме синусов находим высоту призмы
h=17sin60/sin30=(17*√3/2)/0.5=17√3
Sбок=4аh
Sбок=4*17*17√3= 1156√3

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать геометрические свойства ромба и прямоугольного треугольника. Площадь боковой поверхности прямоугольной призмы можно найти, сложив площади всех её боковых граней.

1. Находим высоту ромба:

Рассмотрим ромб с диагоналями 16 см и 30 см. Половина длины каждой диагонали представляет собой одно из оснований прямоугольной призмы.

Половина длины первой диагонали: \( \frac{16}{2} = 8 \) см.

Половина длины второй диагонали: \( \frac{30}{2} = 15 \) см.

Высота ромба (расстояние от его центра до вершины) может быть найдена с использованием теоремы Пифагора:

\[ h = \sqrt{30^2 - 15^2} \] \[ h = \sqrt{900 - 225} \] \[ h = \sqrt{675} \] \[ h = 15\sqrt{3} \] см.

2. Находим боковую сторону прямоугольного треугольника:

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю основания и высотой ромба.

Тангенс угла наклона \( \theta \) между диагональю и основанием:

\[ \tan(\theta) = \frac{h}{\frac{b}{2}} \] \[ \tan(60^\circ) = \frac{15\sqrt{3}}{\frac{b}{2}} \]

Решая уравнение относительно \( b \), получим: \[ b = \frac{30\sqrt{3}}{\tan(60^\circ)} \] \[ b = \frac{30\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \] \[ b = 30 \] см.

3. Находим площадь боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы. Периметр основания ромба:

\[ P = 4b = 4 \times 30 = 120 \] см.

Теперь, используя высоту призмы, мы можем найти площадь боковой поверхности:

\[ S_{\text{бок}} = Ph = 120 \times 15\sqrt{3} = 1800\sqrt{3} \] см².

Таким образом, площадь боковой поверхности прямоугольной призмы равна \( 1800\sqrt{3} \) квадратных сантиметров.