Question

В трапеции АВCD с основаниями ВС и АD проведены диагонали AC и BD. Докажите равенство площадей треугольников ABD и ACD.

Answer 1

Проведем перпендикуляры из вершины B и С: BE и CN соответственно.

BE=СN-как высоты трапеции.

S треуг ABD=AD*BE/2

S труег ACD=AD*CN/2

Все элементы равны=> и площади равны.

Answer 2

Для доказательства равенства площадей треугольников ABD и ACD в трапеции ABCD, мы можем воспользоваться тем, что высота трапеции, проведенная из вершины B (высота BB'), делит её на два треугольника с общей основой AD.

Обозначим точку пересечения диагоналей AC и BD как точку E. Таким образом, трапеция ABCD разбивается на два треугольника: ABD и ACD.

Так как BB' - это высота трапеции, то площадь треугольника ABD можно выразить как \( \frac{1}{2} \cdot BD \cdot BB' \), а площадь треугольника ACD как \( \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BB' \).

Теперь нам нужно показать, что эти две площади равны между собой.

1. \( \frac{1}{2} \cdot BD \cdot BB' = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BB' \)

2. \( BD = AC \) (отметим, что BB' не является нулевой длиной, поскольку B и C лежат на одной прямой)

3. Следовательно, треугольники ABD и ACD имеют равные основания BD и AC.

Таким образом, мы доказали, что площади треугольников ABD и ACD равны между собой.

Это завершает доказательство равенства площадей треугольников в данной трапеции.