Question

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Даны координаты вершин треугольника ABC. Найти: a) уравнения медианы, проведенной из вершин A b) Уравнение высоты проведенной из вершины B d) площадь треугольника ABC t) расстояние от точки A до прямой BC g) угол между прямыми AC и AB. Cделать рисунок. A(4;7) ; B (-4 ; 1); C (1;3)

Answer 1

1) Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
$x_m= \frac{x_b+x_c}{2} = \frac{-4+1}{2}=- \frac{3}{2}$
$y_m= \frac{y_b+y_c}{2}= \frac{1+3}{2} =2$
Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(4;7) и М(-3/2;2), поэтому:
$\frac{x-4}{-3/2-4} = \frac{y-7}{2-7}$
или
$y=10/11x+37/11$

2)Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
$\frac{x-x_0}{A} = \frac{y-y_0}{B}$
Найдем уравнение высоты через вершину B
$\frac{x-(-4)}{-4} = \frac{y-1}{3}$
$y=-3/4x-2$

3) Пусть 3 точки - вершины треугольника, тогда площадь выражается формулой:
$S= \frac{1}{2} \left[\begin{array}{ccc}x_1-x_3&y_1-y_3\\x_2-x_3&y_2-y_3\\\end{array}\right]$
Принимая А за 1-ую вершину найдем определитель данной матрицы
$S= \frac{1}{2} \left[\begin{array}{ccc}3&4\\-5&-2\\\end{array}\right]=\frac{1}{2}*14=7$
4) Расстояние от точки до прямой считается так:
$\frac{|A*M_x+B*M_y+C|}{ \sqrt{A^2+B^2} }$
В числителе находятся коэффициенты уравнения прямой BC, которое выглядит так:
$\frac{x+4}{5} = \frac{y-1}{2}; 5y-2x-13=0$
нужно найти расстояние из точки А, ее и подставим вместо точки М
$\frac{|-2*4+5*7-13|}{ \sqrt{4^2+7^2} }= \frac{14}{ \sqrt{65} }$
5) уравнение прямой АС: $-4x+3y-5=0$
уравнение прямой AB: $-3x+4y-16=0$
угол находится так:
$cos x= \frac{A_1A_2+B_1 B_2}{ \sqrt{A^2_1+B^2_1} \sqrt{A_2^2+B_2^2} }$
$A_1=-4;A_2=-3;B_1=3;B_2=4$
$cos x=\frac{4*-3+3*4}{ \sqrt{A^2_1+B^2_1} \sqrt{A_2^2+B_2^2} } =0$
Даже знаменатель можно не расписывать, раз в числителе получился 0, то угол = 90 градусов или $\pi /2$