Question

А) Сторони трикутника дорівнюють 32, 12 і 28 см. Обчисліть кут між найбільшою і найменшою сторонами трикутника.б) Сума двох сторін трикутника дорівнює 65 см. Бісектриса кута між цими сторонами ділить протилежну сторону на відрізки 15 і 24 см.Знайдіть ці сторони трикутника.

Answer 1

1) По теореме косинусов. Против угла α между наибольшей стороной 32 и нименьшей стороной 12 лежит сторона 28:
28²=32²+12²-2·32·12·cosα,
cosα=(1024+144-784)/768,
сosα=0,5
Угол между наибольшей и наименьшей стороной равен 60⁰

2) Дан треугольник АВС: АВ+ВС=65. ВЕ- биссектриса, делит сторону АС на отрезки АЕ=15, ЕС=24. Значит сторона АС=39
 По свойству биссектрисы угла: биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
Обозначим сторону АВ=х, тогда ВС=65-х
Пропорция:
15:24=х:(65-х)
15(65-х)=24х,
39х=975,
х=25,
АВ=25, ВС=65-25=40.

Answer 2

а) Для обчислення кута між найбільшою і найменшою сторонами трикутника можна скористатися теоремою косинусів. За цією теоремою, квадрат найбільшої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, помноженій на два добутки цих сторін і косинус кута між ними.

У нашому випадку, найбільша сторона дорівнює 32 см, а дві інші сторони дорівнюють 12 см і 28 см. Позначимо кут між найбільшою і найменшою сторонами як α. Тоді за теоремою косинусів отримаємо:

32^2 = 12^2 + 28^2 - 2 * 12 * 28 * cos(α)

1024 = 144 + 784 - 672 * cos(α)

1024 = 928 - 672 * cos(α)

672 * cos(α) = 928 - 1024

672 * cos(α) = -96

cos(α) = -96 / 672

cos(α) = -0.142857