Question

Докажите,что если точка Х лежит внутри треугольника АВС, то ХВ+ХС< АВ+АС

Answer 1

В треугольнике сумма двух сторон всегда больше третьей стороны.

Проведем через точку Х из угла В прямую до пересечения с противолежащей стороной АС.

Пусть точка пересечения будет Р. Тогда ВР = ВХ+ХР и АС=АР+РС

В треугольнике АВР ВР<АВ+АР или ВХ+ХР< АВ+АР. Вычием из обоих сторон неравенства ХР, тогда ВХ<АВ+АР-ХР.

В треугольнике ХСР ХС<ХР+РС. Сложим два неравенства:

ВХ<АВ+АР-ХР и ХС<ХР+РС. Имеем: ВХ+ХС<АВ+АР-ХР+ХР+РС или ВХ+ХС<АВ+АР+РС.

Но АС=АР+РС значит имеем ВХ+ХС<АВ+АС, что и требовалось доказать