Question

Найдите стороны треугольника ABC, если угол А=45, угол С=30, а высота AD=3m

Answer 1

Известно, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

В прямоугольном треугольнике ADC  катет AD   лежит против ∠ C= 30°

Значит, гипотенуза    АС=2· AD= 2· 3m=6 m

∠B=180°-∠A-∠C=180°-45°-30°=105°

sin ∠ B= sin (180°-75°)=sin (75°)=sin (30°+45°)=sin 30°·cos 45°+cos 30°·sin 45°=(1/2)·(√2/2)+(√3/2)·(√2/2)=√2·(1+√3)/4

По теореме синусов:

$\frac{AC}{sin\angle B}= \frac{AB}{sin \angle C} \\ \\ \frac{AC}{sin \angle B} = \frac{BC}{sin\angle A}$

$\frac{3m}{ \frac{ \sqrt{2}(1+ \sqrt{3})}{4} }= \frac{AB}{ \frac{1}{2} } \\ \\ AB= \frac{3m \sqrt{2} }{1+ \sqrt{3} }$

$\frac{3m}{ \frac{ \sqrt{2}(1+ \sqrt{3})}{4} }= \frac{BC}{ \frac{ \sqrt{2} }{2} } \\ \\ BC= \frac{6m}{1+ \sqrt{3} }$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать тригонометрические соотношения в прямоугольных треугольниках. Давайте обозначим стороны треугольника ABC как AB, BC и AC, а высоту AD как h.

1. Найдем сторону AB: У нас есть угол А и высота AD. Так как высота является перпендикуляром к основанию треугольника, то AD будет являться высотой, опущенной из вершины A на сторону BC. Таким образом, треугольник ABD будет прямоугольным треугольником, где угол А равен 45 градусов. Мы можем использовать тригонометрическую функцию синуса для нахождения стороны AB: sin(А) = AD / AB sin(45) = 3 / AB AB = 3 / sin(45) AB ≈ 4.24 m

2. Найдем сторону BC: У нас есть угол С и высота AD. Так как высота является перпендикуляром к основанию треугольника, то AD будет являться высотой, опущенной из вершины A на сторону BC. Таким образом, треугольник ACD будет прямоугольным треугольником, где угол С равен 30 градусов. Мы можем использовать тригонометрическую функцию синуса для нахождения стороны AC: sin(С) = AD / AC sin(30) = 3 / AC AC = 3 / sin(30) AC ≈ 6 m

3. Найдем сторону AC: Мы можем использовать теорему косинусов для нахождения стороны AC. В треугольнике ABC у нас есть стороны AB и BC, а также угол А. Таким образом, мы можем использовать следующее соотношение: AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(А) AC^2 = (4.24)^2 + BC^2 - 2 * 4.24 * BC * cos(45) AC^2 ≈ 17.99 + BC^2 - 8.48 * BC * 0.7071

Теперь у нас есть два уравнения: AC = 6 и AC^2 ≈ 17.99 + BC^2 - 8.48 * BC * 0.7071. Мы можем использовать второе уравнение для нахождения значения BC и затем подставить его в первое уравнение для нахождения значения AC.

4. Решим уравнение для BC: AC^2 ≈ 17.99 + BC^2 - 8.48 * BC * 0.7071 6^2 ≈ 17.99 + BC^2 - 8.48 * BC * 0.7071 36 ≈ 17.99 + BC^2 - 6 * BC * 0.7071 36 - 17.99 ≈ BC^2 - 6 * BC * 0.7071 18.01 ≈ BC^2 - 4.24 * BC

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое мы можем решить для BC. Решив его, мы найдем два возможных значения для BC.

5. Подставим значения BC в первое уравнение для нахождения AC: AC = 6 / sin(30) AC ≈ 12 m

Таким образом, стороны треугольника ABC примерно равны: AB ≈ 4.24 m BC ≈ 3.11 m и BC ≈ 9.89 m AC ≈ 12 m