Question

В треугольнике ABC угол C равен 90∘, AC=12, tg A=2√10/3. Найдите AB.

Answer 1

)))))))))))))))))))))

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся тем, что в прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. В данном случае, тангенс угла A равен отношению длины стороны, противолежащей углу A (AB), к длине стороны, прилежащей к углу A (BC).

Мы знаем, что \( \tan(A) = \frac{AB}{BC} \) и по условию \( \tan(A) = \frac{2\sqrt{10}}{3} \).

Также, по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABC: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \). Подставим известные значения: \( 12^2 = AB^2 + BC^2 \).

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( \tan(A) = \frac{2\sqrt{10}}{3} \) 2. \( 12^2 = AB^2 + BC^2 \)

Решим систему уравнений.

1. Из уравнения \( \tan(A) = \frac{2\sqrt{10}}{3} \) найдем значение \( BC \): \[ BC = \frac{AB}{\tan(A)} = \frac{AB}{\frac{2\sqrt{10}}{3}} = \frac{3AB}{2\sqrt{10}} \]

2. Подставим это значение в уравнение Пифагора: \[ 12^2 = AB^2 + \left(\frac{3AB}{2\sqrt{10}}\right)^2 \] \[ 144 = AB^2 + \frac{9A^2B^2}{40} \]

Умножим обе стороны на 40, чтобы избавиться от дроби: \[ 5760 = 40AB^2 + 9AB^2 \] \[ 40AB^2 + 9AB^2 = 5760 \] \[ 49AB^2 = 5760 \] \[ AB^2 = \frac{5760}{49} \]

Теперь найдем значение AB, взяв положительный корень из \( \frac{5760}{49} \), так как длины сторон не могут быть отрицательными: \[ AB = \sqrt{\frac{5760}{49}} \] \[ AB = \frac{24\sqrt{10}}{7} \]

Итак, длина стороны AB равна \( \frac{24\sqrt{10}}{7} \).