Question

Точка e не лежит в плоскости параллелограмма abcd. докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков ea и eb, параллельна стороне cd

Answer 1

1)Рассмотрим треугольник АЕВ, назовем точки-середины отрезков ЕА и ЕВ Т и R соответственно. ТR - средняя линия треугольника, зн ТR параллельна АВ.
2)АВ параллельна СД, значит по признаку параллельности прямых ТR параллельна СД.
ДОКАЗАНО

Answer 2

Для доказательства параллельности прямой, проходящей через середины отрезков EA и EB, и стороне CD параллелограмма ABCD, воспользуемся свойством параллелограмма, которое гласит: "Прямые, соединяющие середины противоположных сторон параллелограмма, пересекаются в его центре".

Обозначим середины отрезков EA и EB как точки M и N соответственно. Таким образом, M - середина отрезка EA, а N - середина отрезка EB.

Проведем прямые MN и CD.

По свойству параллелограмма, прямые MN и CD пересекаются в его центре O.

Так как точка E не лежит в плоскости параллелограмма ABCD, то прямая EO не содержится в этой плоскости. Следовательно, треугольник EOM не лежит в плоскости ABCD.

Рассмотрим треугольник EOM. Так как точка O является центром параллелограмма ABCD, то отрезки OM и ON являются медианами этого треугольника.

По известному свойству медиан треугольника, точка O делит отрезок MN в отношении 2:1. То есть, отрезок ON длиннее, чем отрезок OM.

Так как отрезок ON длиннее, чем отрезок OM, и точка O лежит на прямой CD, то прямая, проходящая через середины отрезков EA и EB, параллельна стороне CD.

Таким образом, мы доказали, что прямая, проходящая через середины отрезков EA и EB, параллельна стороне CD.