Question

Найдите катеты прямоугольного треугольника, если проекции катетов на гипотенузу равны √5 см и 4√5 см

Answer 1

Проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника - это отрезки, на которые высота из прямого угла делит гипотенузу. 

Гипотенуза равна √5+4√5=5√5

 Квадрат длины катета равен произведению длины гипотенузы на длину проекции этого катета на гипотенузу, поэтому квадраты катетов равны

а²=5√5*√5=25   в²=5√5*4√5=100

Катеты равны а=√25=5   в=√100=10

Answer 2

Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, а c - гипотенуза.

Из условия задачи известны проекции катетов на гипотенузу: √5 см и 4√5 см.

Используем теорему Пифагора: a^2 + b^2 = c^2.

Также из условия задачи известно, что проекции катетов на гипотенузу образуют прямоугольный треугольник. Значит, можно составить следующую систему уравнений:

a^2 + b^2 = c^2 (1) a/√5 = b/(4√5) (2)

Разделим обе части уравнения (2) на √5:

a/5 = b/(4*5)

Упростим:

a/5 = b/20

Умножим обе части уравнения на 20:

4a = b

Теперь, зная это, можем заменить b в уравнении (1):

a^2 + (4a)^2 = c^2

a^2 + 16a^2 = c^2

17a^2 = c^2

Теперь можем найти катеты a и b. Для этого найдем квадратный корень из обеих частей уравнения выше:

a = √(c^2/17)

b = 4a = 4√(c^2/17)

Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны √(c^2/17) и 4√(c^2/17), где c - гипотенуза.