Question

СРОЧНО МНОГО БАЛЛОВ!!! Докажите, что медиана треугольника меньше половины его периметра. ____ не копируйте пж

Answer 1

используем теорему о том что, одна из сторон треугольника всегда меньше суммы двух других его сторон...отсюда следует, что:
 BD >AB+DA....BD>BC+DC....следовательно, сложив эти неравенства, мы получаем: 2BD<AB+DA+DC+BA... медиана делит сторону пополам, значит, DA + DC = AC...т.е.: 2BC<AB+BC+AC....BD<(AB+BC+AC)/2       
Вследствие всего, мы видим, что медиана меньше полупериметра треугольника

Answer 2

Докажем, что медиана треугольника меньше половины его периметра.

Пусть у нас есть треугольник ABC, а M - середина стороны AB (то есть точка, которая делит сторону AB пополам).

Мы знаем, что медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В данном случае, медиана AM соединяет вершину A с серединой стороны BC.

Для доказательства неравенства медианы треугольника и половины его периметра, воспользуемся неравенством треугольника.

Неравенство треугольника гласит, что для любого треугольника его каждая сторона должна быть меньше суммы двух других сторон.

Применим это неравенство к треугольнику ABC:

AB < BC + AC AM < BM + CM

Так как M - середина стороны AB, то BM = AM и CM = AM.

Тогда получаем:

AM < AM + AM AM < 2AM

Таким образом, медиана AM треугольника ABC меньше, чем дважды ее длина.

Теперь докажем, что медиана треугольника меньше половины его периметра.

Полупериметр треугольника ABC равен:

p = (AB + BC + AC) / 2

Так как AM = BM = CM, то мы можем заменить стороны треугольника через медиану AM:

AB = 2AM BC = 2AM AC = 2AM

Подставим эти значения в формулу полупериметра:

p = (2AM + 2AM + 2AM) / 2 p = 6AM / 2 p = 3AM

Таким образом, полупериметр треугольника равен 3 раза длине медианы AM.

Мы доказали, что медиана треугольника меньше, чем дважды ее длина, и полупериметр треугольника равен 3 раза длине медианы.

Так как 2AM < 3AM, то медиана AM меньше, чем половина полупериметра треугольника.

Таким образом, доказано, что медиана треугольника меньше половины его периметра.