Question

Биссектрисы углов А и В параллелограмма АВСD пересекаются в точке F стороны CD. Докажите, что F - середина CD.

Answer 1

Cм. рисунок.
Так как по условию это биссектрисы, то:
1) (угол) BAF=FAD а также FBC=FBA
2) (угол) FAD=AFD (При параллельных прямых AB и CD и секущей AF)
Так как эти углы равны, значит треугольник ADF - равнобедренный, поэтому стороны AD и DF равны.
3) (угол) ABD=BFC (При параллельных прямых AB и СD и секущей BF)
Так как и эти углы равны, значит треугольник DCF - равнобедренный, поэтому стороны BC=CF.
Известно, что у параллелограмма AD=BC, тогда AD=DF=FC=CB.
Тогда F - середина CD, что и требовалось доказать.

Answer 2

Биссектрисы углов А и В параллелограмма АВСD пересекаются в точке F стороны CD. Докажите, что F - середина CD.

Для доказательства того, что точка F является серединой стороны CD параллелограмма ABCD, мы можем использовать свойство биссектрисы угла.

Доказательство:

1. Пусть биссектрисы углов А и В пересекаются в точке F стороны CD. 2. Обозначим точку пересечения биссектрисы угла А с стороной CD как точку M. 3. Обозначим точку пересечения биссектрисы угла В с стороной CD как точку N. 4. Так как биссектрисы углов А и В пересекаются в точке F, то точка F лежит на обеих биссектрисах. 5. По свойству биссектрисы угла, точка F делит сторону CD на две равные части, то есть CF = FD. 6. Также, по свойству биссектрисы угла, точка F делит угол А на два равных угла, то есть угол AFC = угол BFC. 7. Аналогично, точка F делит угол В на два равных угла, то есть угол BFD = угол AFD. 8. Из равенства углов и равенства сторон следует, что треугольники AFC и BFC равны по стороне и двум углам. 9. Следовательно, AF = BF. 10. Таким образом, мы доказали, что точка F является серединой стороны CD параллелограмма ABCD.

Ответ: Точка F является серединой стороны CD параллелограмма ABCD.