Question

Допоможіть будь ласка!!! Радіус кола, вписаного в прямокутний трикутник, дорівнює 1 дм. Знайти площу цього трикутника, якщо гіпотенуза дорівнює 5 дм. Відповідь: 6дм² Потрібний детальний розв'язок.

Answer 1

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен:
r = (a + b - c)/2, где a и b - катеты, c - гипотенуза.
По теореме Пифагора:
c² = a² + b²
Используя данные условия, получим систему уравнений:
1 = (a + b - 5)/2
25 = a² + b²

2 = a + b - 5
25 = a² + b²

a + b = 7
a² + 2ab + b² - 2ab = 25

a + b = 7
(a + b)² - 2ab = 25

a + b = 7
49 - 2ab = 25

a + b = 7
2ab = 24

a + b = 7
ab = 12

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, т.е. S = 0,5ab
ab = 12 ⇒ S = 0,5ab = 0,5·12 = 6 дм².
Ответ: S = 6 дм².

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі використаємо властивість про вписаний коло в прямокутний трикутник. Згідно цієї властивості, радіус кола, вписаного в прямокутний трикутник, дорівнює половині гіпотенузи, поділеної на суму катетів.

У нашому випадку, радіус кола дорівнює 1 дм, а гіпотенуза - 5 дм. Запишемо формулу для визначення радіуса кола:

r = c / (a + b),

де r - радіус кола, c - гіпотенуза, a і b - катети.

Підставимо відомі значення:

1 = 5 / (a + b).

Тепер розв'яжемо це рівняння відносно a + b:

a + b = 5 / 1,

a + b = 5.

Отже, сума катетів дорівнює 5.

Також, можемо скористатися піфагоровим теоремою, щоб знайти значення одного з катетів. Запишемо піфагорову теорему:

c² = a² + b²,

5² = a² + b²,

25 = a² + b².

Тепер маємо систему рівнянь:

a + b = 5, a² + b² = 25.

Розв'яжемо її методом підстановки. З першого рівняння виразимо b:

b = 5 - a.

Підставимо це значення в друге рівняння:

a² + (5 - a)² = 25,

a² + 25 - 10a + a² = 25,

2a² - 10a = 0,

2a(a - 5) = 0.

З цього рівняння маємо два розв'язки:

a = 0 або a = 5.

Якщо a = 0, то b = 5 - 0 = 5. Якщо a = 5, то b = 5 - 5 = 0. Очевидно, що в нашому випадку катет не може дорівнювати 0, тому приймаємо a = 0.

Тепер можемо знайти площу трикутника за формулою:

S = (a * b) / 2,

S = (0 * 5) / 2,

S = 0.

Отже, площа цього трикутника дорівнює 0 дм².