Question

В единичном кубе А...D1 найдите угол между прямыми AB1 и BD1

Answer 1

Пусть А - начало координат. Луч АВ - ось Х, луч АА1 - ось Y,
а луч АD - ось Z.
Тогда имеем: точки А(0;0;0), B1(1;1;0), B(1;0;0) и D1(0;1;1)
Вектор АВ1{1;1;0}  его модуль |AB1|=√(1²+1²+0)=√2.
Вектор BD1{-1;1;1} его модуль |BD1|=√(1²+1²+1²)=√3.
Угол между этими векторами найдем по формуле:
cosα=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/[√(x1²+y1²+z1²)*√(x2²+y2²+z2²)].
В нашем случае:
cosα=(-1+1+0)/[√2*√3)] = 0/√6 = 0.  Угол =90°. 
Ответ 90°.

Или так:
по теореме о трех перпендикулярах: "если ортогональная проекция наклонной на плоскость перпендикулярна прямой, лежащей в этой плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой.
Проекция наклонной ВD1 на плоскость АА1В1В - это прямая А1В (так как в кубе угол <D1A1B=90°). Но прямые АВ1 А1В перпендикулярны, так как это диагонали квадрата - грани куба - АА1В1В. Следовательно, угол между прямыми АВ1 и ВD1 - прямой.