Question

Помогите решить 3 и 4. Заранее БЛАГОДАРНА!! если можно, то рисунки не помешало бы..( с объяснениями)

Answer 1

3. 1 вариант

Дано:
ABCD - прямоугольник
S равноудалена от A, B, C, D (SA = SB = SC = SD)
AB = 6 см
AD = 8 см
AS = 13 см

Найти: расстояние от S до (ABC) или SO

Решение:
S равноудалена от всех вершин прямоугольника ⇒ перпендикуляр SO (он же расстояние до плоскости ABC) попадёт в центр прямоугольника, или, иными словами, точка O - центр ABCD.

Центр ABCD - это пересечение диагоналей.
Точкой O диагонали делятся на равные части, свойство прямоугольника.
BO = OD = AO = OC

Найдём AC по теореме Пифагора:
AC = √(36+64) = √100 = 10 см
AO = AC/2 = 5 см

Как уже было сказано, SO ⊥ (ABC) ⇒ ΔASO - прямоугольный.

Найдём SO по теореме Пифагора:
SO = √(169-25) = √144 = 12 см

ОТВЕТ: 12 см.

3. 2 вариант

Дано: 
ABCD - прямоугольник
S равноудалена от A, B, C, D (SA = SB = SC = SD)
AB = 12 см
BC = 16 см
Расстояние от S до (ABC) или SO = 24 см

Найти: SA

Решение:
Аналогично с первой задачей S равноудалена от всех вершин прямоугольника ⇒ перпендикуляр SO попадёт в центр прямоугольника.

Найдём диагональ AC по теореме Пифагора:
AC = √(144+256) = √400 = 20 см
AO = AC/2 = 10 см

ΔASO - прямоугольный ⇒ По теореме Пифагора находим AS:
AS = √(576+100) = √676 = 26 см

Ответ: 26 см

4. 1 вариант

Дано:
DA ⊥ (ABC)
∠ADC = ∠ADB

Доказать, что ∠DCB = ∠DBC

Доказательство:
DA⊥(ABC) ⇒ DA⊥AB и DA⊥AC ⇒ ΔDAB и ΔDAC - прямоугольные ⇒ ∠DAB = ∠DAC = 90°

Рассмотрим ΔDAB и ΔDAC
1. DA - общая
2. ∠ADB = ∠ADC - по условию
3. ∠DAC = ∠DAB - из решения
Отсюда следует, что ΔDAB = ΔDAC (2 признак) ⇒ DC = DB

DC = DB ⇒ ΔDBC - равнобедренный ⇒ ∠DCB = ∠CBD.
Что и требовалось доказать.

4. 2 вариант

Дано:
DA ⊥ (ABC)
∠DBA = ∠DCA

Доказать, что ∠DBC = ∠DCB

Доказательство:
DA⊥(ABC) ⇒ DA⊥AB, DA⊥AC ⇒ ΔDAB и ΔDAC - прямоугольные ⇒ ∠DAB = ∠DAC = 90°

∠ADB = 90° - ∠DBA
∠ADC = 90° - ∠DCA
Так как ∠DBA и ∠DAC равны, справедливо утверждать, что ∠ADB = 90° - ∠DCA, а следовательно ∠ADC = ∠ADB
 
Рассмотрим ΔDAB и ΔDAC:
1. DA - общая
2. ∠ADC = ∠ADB - из решения
3. ∠DAB = ∠DAC - из решения
Отсюда следует, что ΔDAB = ΔDAC по второму признаку.

Из равенства следует, что DB = DC как соответствующие элементы равных треугольников.

DB = DC ⇒ ΔDBC - равнобедренный ⇒ ∠DBC = ∠DCB
Что и требовалось доказать.

Answer 2

Решение на фотографии