Question

Помогите пожалуйста. Срочно нужно решить задачу. В треугольнике АВС АС=1 см, АВ=2 см, О – точка пересечения биссектрис. Отрезок, проходящий через точку О, параллельно стороне ВС, пересекает стороны АС и АВ в точках К и М соответственно. Найдите периметр треугольника АКМ.

Answer 1

Да  красивая задача.
O-центр вписанной окружности (точка сечения биссектрис)
Проведем отрезок  ES-параллельный основанию CB и касающийся окружности.
ECSB-трапеция  ,в которую вписана  окружность. Причем выходит,   что раз  центр окружности делит высоту трапеции пополам (на  2 равных радиуса)
и KM||CB. То  по теореме Фалеса: CK=KE=a , BM=MS=b (KA=1-a MA=2-b)
Выходит что KM-средняя  линия трапеции.
Пусть ES=f ,BC=x.
И  тут  начинается красивая арифметика:
Из  условия  вписаной окружности  в трапецию получим:
f+x=2(a+b)
тк  KM=(f+x)/2
то  KM=a+b
Откуда: PAKM=(1-a+2-b+(a+b))=3
Ответ: PAKM=3