Question

Основанием пирамиды служит равносторонний треугольник со стороной 4 см. Каждое боковое ребро пирамиды составляет с плоскостью основания угол 45 градусов. Найдите объем пирамиды.

Answer 1

АВСД - пирамида,  ΔАВС- равносторонний, АВ=АС=ВС=а ,  а=4 см
Так как боковые рёбра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом в 45°, то основание высоты пирамиды Н проектируется в центр описанной окружности, точку О. 
∠ДАО=45°
Радиус опис. окр. = 2/3 от высоты ΔАВС.  AK⊥BC .
R=2/3·h=2/3·AK=2/3·AK=2/3·√(a²-a²/4)=2/3·a√3/2=4√3/3
ДО/АО=tg45°  , tg45°=1  ⇒  ДО=AO=R=4√3/3
S(ABC)=1/2·a²·sin60°=1/2·8·√3/2=4√3
V(АВСД)=1/3·S·H=1/3·4√3·4√3/3=16/3=5 и 1/3

Answer 2

Пусть, дана пирамида АВСД,причем, АВС-равносторонний треугольник со стороной 4 см.
Опустим из т.А перпендикуляр на ВС, отметим т.М. В равностороннем треугольнике это и высота, и медиана треугольника, и бисектриссаугла А.
Вершина пирамиды Д будет иметь проекцию на плоскости АВС в т.О. Причем, т.О будет совпадать с серединой отрезка АМ.
Поскольку АВС-равносторонний, то АМ=√(АС²-МС²)=√(16-(4/2)²)=
=√(16-4)=√12=2√3(см)
Тогда АО=АМ/2=√3(см)
Поскольку все ребра пирамиды, в том числе и АД, имеют наклон к плоскости основания 45°, то ДО=АО=√3(см)
Площадь треугольника АВС равна
S=ВС*АМ/2=(4*2√3)/2=4√3(см²)
Объем пирамиды равен
V=S*ДО/3=(4√3*√3)/3=4см³
Ответ: 4см³