Question

Из вершины А треугольника АВС проведены медиана, биссектриса и высота. Определите, какие из этих отрезков могут быть равны стороне АВ и при этом не совпадать с ней.

Answer 1

Высота дает кратчайшее расстояние до стороны, поэтому равна стороне AB она может только если AB перпендикулярна BC - это по условию нас не устраивает, так как в этом случае высота совпала бы со стороной.

Медиана может быть равна стороне AB. Для построения такого треугольника берем любой равнобедренный треугольник BAM (AB=AM) и продолжаем сторону BM за точку M на отрезок MC, равный BM. Треугольник ABC искомый.

Биссектриса может быть равна стороне AB. Для построения такого треугольника берем любой равнобедренный треугольник BAM (AB=AM) с углом BAM<60° и проводим через точку A луч, образующий с AM угол, равный углу BAM. Обозначив точку пересечения этого луча с прямой BM буквой C, получаем требуемый треугольник BAC. (Если бы угол BAM был больше или равен 60°, луч не пересекся бы с прямой BM).