Question

СРОЧНОО!!найти радиус шара описанного около правильной треугольной пирамиды у которой сторона основания равна 8 корней из 2,а боковые ребра взаимноперпендикулярны

Answer 1

Эту задачу можно решить многими эквивалентными способами, но (как ни удивительно) - самый простой и наглядный способ- координатный.

Пусть есть три взаимно перпендикулярные оси  - как обычно, OX, OY, OX, О - начало координат. Если отметить точки на осях на расстоянии 8 от О, то есть точки А (8, 0, 0) В (0, 8, 0) и С (0, 0, 8), то АВ = ВС = АС = 8*√2, и АВСО и есть заданная в задаче пирамида. 

Теперь надо построить шар, проходящий через все 4 точки.

Я еще более усложню задачу :))) и буду строить шар, который проходит не только через эти точки АВСО, но и еще через точки D(0, 8, 8) E (8, 0, 8) F(8, 8,0) и G (8, 8, 8). Такой шар существует, поскольку OABCDEFG - просто куб со стороной 8.

Ясно, что центр шара находится в центре куба, то есть в точке О1 (4, 4, 4), и радиус шара равен длине отрезка ОО1, то есть √(4^2 + 4^2 +4^2) = 4*√3; это ответ :)

 

Конечно, то же самое можно сделать без введения системы координат. Просто - так наглядно.  

"Минимальное" решение выглядит так

Заданная пирамида отсекается от куба со стороной 8 плоскостью, проходящей через 3 вершины трех ребер, имеющих общую вершину (то есть исходящих из одной вершины). Поэтому шар, описанный вокруг куба, будет и шаром, описанным вокруг пирамиды. Диаметр шара равен большой диагонали куба, то есть 8*√3; а радиус в 2 раза меньше. Всё. 

Answer 2

Для решения задачи найдем высоту треугольной пирамиды. В данном случае треугольник основания является равносторонним, так как все его стороны равны 8 корня из 2. Поскольку треугольник равносторонний, высота будет проходить от центра вписанной окружности до одной из его вершин и является медианой и одновременно высотой.

Чтобы найти длину высоты, воспользуемся теоремой Пифагора. Поскольку боковые ребра перпендикулярны друг к другу, они образуют прямой угол. Таким образом, медиана является гипотенузой прямоугольного треугольника, а половина основания - одной из его катетов.

Пусть x - длина катета прямоугольного треугольника, тогда по теореме Пифагора: x^2 + (8√2/2)^2 = 8√2^2 x^2 + 32 = 32 * 2 x^2 = 64 - 32 x^2 = 32 x = √32 = 4√2

Таким образом, длина высоты треугольной пирамиды равна 4 корня из 2.

Чтобы найти радиус сферы, описанной вокруг пирамиды, обозначим его как R. Радиус сферы, описанной вокруг треугольника, будет равен половине длины гипотенузы прямоугольного треугольника со стороной, равной стороне основания треугольной пирамиды.

Таким образом, R = 1/2 * 8√2 = 4√2.

Ответ: радиус шара, описанного вокруг данной треугольной пирамиды, равен 4 корня из 2.