Question

Помогите решить задачи по геометрии. Заранее спасибо.1. В произвольном треугольнике АВС высота AH равна медиане ВМ. Найдите угол ВСМ.2. BL — биссектриса в прямоугольном треугольнике АВС ( угол С прямой), М — точка пересечения медиан. Известно, что LM перпендикулярно АС. Найти острые углы треугольника.3. Построить равнобедренный треугольник по двум неравным высотам.4.Докажите, что произвольный треугольник можно разбить на девять равных треугольников.

Answer 1

1. Если высота AH=медиане BM, то этот треугольник равносторонний, потому что только в равностороннем треугольнике все медианы, все биссектрисы, все высоты равны. У равностороннего треугольника все углы равны 60 градусам. (180/3=60)
Ответ: 60 градусов.
+ рисунок к решению

Answer 2

1. Нахождение угла ВСМ:

В произвольном треугольнике ABC высота AH равна медиане BM.

Медиана треугольника делит ее на две равные части, поэтому точка M - середина стороны AC.

Также известно, что высота AH перпендикулярна стороне BC. Таким образом, угол BAH прямой, и треугольник ABH прямоугольный.

Теперь рассмотрим треугольник BHM. Так как BM - медиана, то BM равна половине стороны AC.

Таким образом, треугольник BHM также прямоугольный, и угол BHM равен углу BAH.

Итак, угол ВСМ равен углу BHM, который равен углу BAH. Таким образом, угол ВСМ прямой.

---

2. Нахождение острых углов треугольника:

BL — биссектриса в прямоугольном треугольнике ABC (угол C прямой), М — точка пересечения медиан. Известно, что LM перпендикулярно AC.

Так как BL — биссектриса, то угол ABC делится на два равных угла, и угол LBC равен углу MBC.

Также, так как M — точка пересечения медиан, то BM делит угол ABC пополам, и угол LBM равен углу CBM.

Теперь рассмотрим треугольник LBM. Углы LBM и LBC равны, так как это углы, образованные одной и той же линией.

Из углов треугольника сумма всегда равна 180 градусам. Таким образом, острые углы треугольника ABC равны углам LBM и LBC.

---

3. Построение равнобедренного треугольника по двум неравным высотам:

Для построения равнобедренного треугольника, проведем от вершины треугольника две высоты (назовем их AD и BE), при этом высоты будут неравными.

1. Проведем высоту AD. 2. С этой точки проведем отрезок AE, равный другой высоте BE.

Таким образом, треугольник ABE будет равнобедренным, так как он имеет две равные стороны (AE и BE), которые равны высотам треугольника.

---

4. Доказательство, что произвольный треугольник можно разбить на девять равных треугольников:

Представим произвольный треугольник ABC.

1. Разделим каждую сторону треугольника на три равные части, образуя четыре точки деления: D, E, F на AB; G, H, I на BC; J, K, L на AC.

2. Теперь соединим точки деления на противоположных сторонах. Получим шесть маленьких треугольников: ADG, GDH, DHI, BEJ, EJK, JKL.

3. Треугольник ABC разбит на девять равных треугольников: три маленьких внутри каждого из шести получившихся треугольников и сам треугольник ABC.

Таким образом, мы разбили произвольный треугольник на девять равных треугольников.