Question

В окружности через середину О хорды АС проведена хорда ВД так, что дуги АВ и СД равны. Доказать, что О - середина хорды ВД.

Answer 1

Дуга АВ=дуге СД, значит угол АОВ=углу СОД. Тогда угол АОД=углу СОВ как смежные к равным углам, но тогда и дуга АД=дуге ВС. Вписанные углы , опирающиеся на равные дуги, равны, поэтому угол ВАС=углу ДСА. ΔАОВ=ΔСОД по стороне и двум прилежащим к ней углам(АО=ОС по условию, угол АОВ=углу СОД, угол ВАО=углу ДСО по доказанному). У равных треугольников соответственные стороны равны, поэтому ВО=ОД, значит О - середина ВД

Answer 2

Задача

Дана окружность с центром в точке О. Через середину хорды АС проведена хорда ВД так, что дуги АВ и СД равны. Необходимо доказать, что точка О является серединой хорды ВД.

Решение

Для доказательства того, что точка О является серединой хорды ВД, нам необходимо использовать информацию о равенстве дуг АВ и СД.

Пусть точка М - середина хорды АС. Тогда, по свойству серединного перпендикуляра, отрезок ОМ будет перпендикулярен хорде АС и проходить через ее середину.

Также, по условию задачи, дуги АВ и СД равны. Это означает, что углы, образованные хордами АВ и СД, равны между собой. Обозначим эти углы как α.

Теперь рассмотрим треугольники ОМВ и ОМД. Они имеют общую сторону ОМ и равные углы МОВ и МОД (так как они являются вертикальными углами). Также, угол МВО равен углу МДО, так как они являются соответственными углами при равных дугах АВ и СД.

Из этих равенств углов следует, что треугольники ОМВ и ОМД равны по двум углам и общей стороне. Следовательно, их третьи стороны равны, то есть ОВ = ОД.

Таким образом, мы доказали, что точка О является серединой хорды ВД.

Ответ

Точка О является серединой хорды ВД. Доказательство основано на равенстве дуг АВ и СД, а также на свойствах треугольников ОМВ и ОМД