Question

Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне. Один из её углов равен 60 градусов. Найти площадь если радиус описаной окружности равен 4.

Answer 1

В равнобедренной трапеции угол при большем основании будет равен 60 градусов. Проведем диагональ перпендикулярно боковой стороне. В образовавшемся треугольнике на нижнем основании трапеции один из углов 60 градусов, значит другой - 30 градусов. 
Если окружность описана около трапеции, значит она же описана около этого треугольника. Т.к. треугольник прямоугольный, то радиус описанной окружности равен половине гипотенузы. Отсюда нижнее основание трапеции равно 8. Боковая сторона равна 4 как катет, лежащий против угла в 30 градусов и равный половине гипотенузы.
По теореме Пифагора найдем высоту трапеции h=кв.корень(16-4)=кв.корень12=2кв.корня3.
площадь равна 0,5(4+8)*h=12кв.корень3.

Answer 2

Давай разберём задачу по шагам.

У нас есть равнобедренная трапеция, у которой диагональ (предполагаю, что это диагональ, перпендикулярная боковой стороне) равна радиусу описанной окружности и один из её углов равен 60 градусам.

Нам нужно найти площадь этой трапеции, имея радиус описанной окружности равным 4.

Для начала, обратимся к свойствам равнобедренной трапеции. У такой трапеции основания равны, и это особенно полезно в нашем случае.

Также, поскольку один из углов равен 60 градусам, мы можем использовать геометрические свойства, чтобы определить другие углы этой трапеции.

Назовём вершины трапеции ABCD, где AB и CD - параллельные основания, а AC и BD - диагонали. Пусть M - точка их пересечения (точка пересечения диагоналей).

Так как равнобедренная трапеция, углы AMB и CMD равны между собой, каждый из них равен 60 градусам.

Теперь у нас есть основания трапеции и два угла. Мы можем использовать геометрические свойства, чтобы найти другие углы. Например, углы AMB и CMD в сумме дают 180 градусов, так как это углы на одной прямой. Значит, оставшиеся углы AMB и CMD равны по 60 градусов каждый.

Теперь, так как у нас есть равные углы AMB и CMD, значит, AM = BM = CM = DM. Также, по свойству равнобедренной трапеции, AC и BD равны.

Мы знаем, что радиус описанной окружности равен 4. Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен половине суммы оснований: \(r = \frac{1}{2}(AB + CD)\).

Теперь, чтобы найти площадь трапеции, мы можем использовать формулу для площади трапеции: \(S = \frac{h}{2}(AB + CD)\), где \(h\) - высота трапеции.

Но у нас есть проблема - мы пока не знаем высоту трапеции. Но мы можем её найти, используя тот факт, что диагонали трапеции делят её на четыре треугольника.

Так как углы AMB и CMD равны 60 градусам, мы можем использовать свойства равностороннего треугольника (в частности, равнобедренного треугольника), чтобы найти высоту.

Таким образом, если мы найдём высоту трапеции, мы сможем рассчитать площадь.

Используем формулу для высоты равнобедренного треугольника: \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\), где \(a\) - сторона треугольника.

Так как треугольники AMB и CMD равносторонние, и радиус описанной окружности равен 4, то \(AB = CD = 2r = 2 \times 4 = 8\).

Теперь подставим значение стороны в формулу для высоты: \(h = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\).

Итак, высота трапеции равна \(4\sqrt{3}\). Теперь мы можем найти площадь трапеции, используя формулу \(S = \frac{h}{2}(AB + CD)\).

Подставим значения: \[S = \frac{4\sqrt{3}}{2}(8) = 4\sqrt{3} \times 8 = 32\sqrt{3}\]

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции равна \(32\sqrt{3}\) квадратных единиц.

Answer 3

Пусть ABDC - это равнобедренная трапеция, где AB и CD - основания, BC и AD - боковые стороны, AC - диагональ.

Мы знаем, что диагональ перпендикулярна боковой стороне, значит угол BAC равен 90 градусов.

Также дано, что один из углов равен 60 градусов, значит угол DBC равен 60 градусов.

Поскольку BC и AC - радиусы описанной окружности, а радиусы, проведенные к точке касания с окружностью, перпендикулярны касательной, значит ABC и ACD прямоугольные.

Таким образом, мы имеем два прямоугольных треугольника ABC и ACD, в которых известны гипотенузы и углы и нужно найти площадь.

Найдем длину гипотенуз в обоих треугольниках: AC = 2 * Радиус = 2 * 4 = 8

В треугольнике ABC применяем формулу площади прямоугольного треугольника: Площадь ABC = (1/2) * AB * BC = (1/2) * AB * AC = (1/2) * AB * 8

В треугольнике ACD применяем аналогичную формулу: Площадь ACD = (1/2) * AD * DC = (1/2) * AD * AC = (1/2) * AD * 8

Так как AB = AD, то площади ABC и ACD будут равны: Площадь ABC = Площадь ACD = (1/2) * AB * 8 = (1/2) * 8 * 8 = 32

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции ABDC с заданными условиями равна 32 квадратным единицам.