Question

В прямоугольной трапеции abcd с основание bc=1 и ad=9 и боковой стороной ab перпендикулярна bc диагональ ac перпендикулярна боковой стороне cd. Найдите площадь трапеции

Answer 1

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.
Полусумма оснований равна (9+1)/2 = 5.
Надо найти высоту трапеции. Опустим перпендикуляр ch из вершины с на основание ad - это и будет искомая высота. Угол acd - прямой (дано)
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два меньших треугольника, подобных исходному и подобных друг другу. Имеем подобные тр-ки hac и hcd. Из подобия этих тр-ков имеем соотношение:  ah/ch=ch/hd или ah*hd = ch², откуда ch=2√2.
Тогда площадь трапеции равна: S = 5*2√2 = 10√2.

Answer 2

Дано:

1. Основание трапеции \( BC = 1 \). 2. Боковая сторона трапеции \( AB \) перпендикулярна основанию \( BC \). 3. Диагональ \( AC \) перпендикулярна боковой стороне \( CD \). 4. Боковая сторона трапеции \( AD = 9 \).

Поскольку боковая сторона \( AB \) перпендикулярна основанию \( BC \), трапеция является прямоугольной. Таким образом, у нас есть два прямых угла в трапеции.

Также, по условию, диагональ \( AC \) перпендикулярна боковой стороне \( CD \). Это также добавляет еще два прямых угла, делая трапецию ортогональной.

Теперь рассмотрим треугольник \( ABC \). У нас есть прямой угол в вершине \( B \) (из-за перпендикулярности \( AB \) и \( BC \)), поэтому этот треугольник является прямоугольным треугольником. Таким образом, мы можем использовать теорему Пифагора:

\[ AB^2 + BC^2 = AC^2 \]

Поскольку \( AB \) и \( BC \) перпендикулярны, площадь треугольника \( ABC \) равна:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \]

Теперь у нас есть все необходимые данные:

\[ AB^2 + BC^2 = AC^2 \]

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \]

Используем данные для вычисления площади трапеции \( ABCD \). Трапеция состоит из двух прямоугольных треугольников \( ABC \) и \( ACD \):

\[ S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ACD} \]

Теперь мы можем решить систему уравнений и найти значения \( AB \), \( BC \) и \( AC \), а затем вычислить площадь трапеции.